星体的速度与距离之关系
The Relationship of Velocity and Distance of Stars

作者: 靳凯歌 :江苏 徐州;

关键词: 哈勃定律星体速度狭义相对论Hubble’s Law Stellar Velocity Special Relativity

摘要:
本文从狭义相对论的速度叠加原理出发,导出了星体速度随星体距离的变化关系。

Abstract: This paper which proceeds from the principle of superposition of velocity in Special Relativity has made a relationship between Stellar Velocity and its distance.

1. 哈勃定律的局限

遥远星系的光谱存在红移,在1930年前后,Hubble从已测定距离的十几个星系中发现,星系光谱的红移量z与星系的距离d有正比关系 [1] 。用今天的方式来写,它是:

z = H C r (1.1)

哈勃定律说明遥远星体正在退行,我们的宇宙在现阶段是膨胀的,是大爆炸理论的实验验证。

按狭义相对论,光频率ω与光源速度v的关系为

ω ω 0 = 1 + V / c 1 V / c (1.2)

在非相对论近似下 [1]

z = ω ω 0 ω V C (1.3)

因此得到,星体退行速度V,与星体到观察者的距离(又称作光度距离) r的关系 [1] :

V = H r (1.4)

H称作哈勃常数,其倒数具有时间的量纲,常常认为是宇宙的年龄,约为140亿年左右。

其实,当红移z不很小,它与距离的关系不是线性的,这一结果已得到实测的证实 [1] 。

由于哈勃定律的应用和星体红移对验证宇宙的状态有很大关系,宇宙参数是红移的函数 [2] ,所以哈勃定律适用范围非常重要。

但是,无论(1.1)或(1.4),能否完全适用于更大尺度的距离,还有待验证。

2. 星体速度与距离的关系

虽然哈勃定律有局限,但各种观察测量,以及宇宙膨胀理论都认定以下事实,即星体速度与距离之间存在着函数关系:

V = V ( r ) (2.1)

从这一事实出发,我们略去影响星体速度的其他因素,结合狭义相对论的速度叠加,找到速度与距离的比较理想的简单的可能的函数。

为此,假设某星体A,距离观察点o的距离为r,在r的延长线上存在一星体B,距离O点距离为r + dr。o点的观察者测到,A和B分别有向右的退行速度V(r)和V(r + dr),如图1

Figure 1. Distance A is R and distance B is r + dr with o as observation point

图1. 以o为观察点A距离为r,B距离为r + dr

星体A上的另一观察者,测得相距自己距离为dr′的星体B的速度为V(dr′),如图2

Figure 2. A as the observation point

图2. 以A为观察点

由于是近距离(dr′是小量),可以满足哈勃定律(1.4):

V ( d r ) = H d r (2.2)

在o看来,B的真实速度V(r + dr)是星体A的速度V(r),与星体B相对A的速度V(dr′)的叠加。运用相对论速度叠加公式,就可以得到

V ( r + d r ) = V ( r ) + V ( d r ) 1 + V ( r ) V ( d r ) C 2 = V ( r ) + H ( d r ) 1 + V ( r ) H ( d r ) C 2

由于dr′是微元,所以,上式V(r + dr)可以写成

V ( r + d r ) = V ( r ) + H d r 1 + V ( r ) H d r C 2 ( V ( r ) + H d r ) ( 1 V ( r ) H d r C 2 ) = V ( r ) + H d r V ( r ) 2 H d r C 2 V ( r ) H 2 ( d r ) 2 C 2

上式第四项为高阶小量,可以略去,把右边第一项移到左边,得

V ( r + d r ) V ( r ) = H d r V ( r ) 2 H d r C 2 = ( 1 V ( r ) 2 C 2 ) H 0 d r (2.3)

dr′与dr的关系满足

d r = γ d r (2.4)

γ = 1 1 V 2 C 2

又,根据微分定义,

上两式代入(2.3)后,有

d V 1 V 2 C 2 = H d r (2.5)

根据(1.1),有:r = 0时,V = 0,上式积分后,得

V = C sin ( H r C ) (2.6)

3. 结论与问题

3.1. 条件限制

1) 公式(2.6)的导出,隐含了宇宙是均匀的各向同性的宇宙学原理。在没有考虑宇宙在大尺度上的各向异性。

2) 假定了宇宙的近似平坦,这个假定与宇宙膨胀似乎不符,近似程度较难确定。

3.2. 公式的普适性

1) 近距离时,(2.6)可以回到哈勃定律。但近距离星体的本动有可能是决定性的,导致星体退行速度的测量值与公式可能有更大的偏差,不过,考虑到如果把哈勃定律适用的尺度作为距离的微元,有其合理的因素。

2) 当观察距离

r 1 = π C 2 H 0 时,

速度V达到最大值C。此时,距离r约为现在宇宙半径的1.57倍。这种宇宙视界的扩大,尚缺乏实验支持。

3) 当

r 2 = π C H 0

速度为零,宇宙停止膨胀,此时宇宙“半径”约为现在的3.14倍。

致谢

感谢负责本稿的编辑和审稿的老师认真负责的指教和辛勤的工作。

参考文献

NOTES

*通讯地址:徐州西苑民安园36-1-104。

文章引用: 靳凯歌 (2019) 星体的速度与距离之关系。 现代物理, 9, 126-129. doi: 10.12677/MP.2019.93015

参考文献

[1] 俞允强. 物理宇宙学讲义[M]. 北京: 北京大学出版社, 2002: 57, 72, 121.

[2] Kazantzidis, L., Perivolaropoulos, L. and Skara, F. (2019) Constraining Power of Cosmological Observables: Blind Redshift Spots and Optimal Ranges. Physical Review D, 99, Article ID: 063537.
https://doi.org/10.1103/PhysRevD.99.063537

分享
Top