有界格上的Null–范数构造方法的讨论
Discussion on the Construction of Null-Norms on Bounded Lattices

作者: 高燕良 , 张昆龙 :中央民族大学理学院,北京;

关键词: Null–范数零元Lattice Null-Norm Zero Element

摘要: 本文引入格上Null–范数的概念,从Null–范数的不同区间的取值入手进行讨论,证明了有界格上的Null–范数的构造方法有且仅有三种,并给出了三种Null–范数的大小关系。

Abstract: Based on the concept of null-norm on bounded lattices, this paper gives a theorem that indicates there are only three construction methods of null-norm on bounded lattices, and gives a proposition that points out a relationship of the three null-norms with fixed zero element a.

1. 引言

近年来,有界格上Null–范数的研究是个热点问题,Null–范数在许多不同的领域中都是一个很重要的工具,例如,计算机科学技术中的专家系统,神经网络,模糊逻辑学,此外,Null–范数也常常用于模糊逻辑中的聚合算子。文章中,我们将讨论有界格上Null–范数的构造方法。F. Karacal, M.A. Ince, R. Mesiar在文 [1] 中给出了三种有界格上的Null–范数的构造方法,Umit Ertugrul在文 [2] 中给出了两种有界格上Null–范数的构造方法,那么在一般有界格上Null–范数的构造方法究竟有多少种,前人并没有给出明确的结论。我们从Null–范数在不同区间上可能的取值入手,分别讨论每个区间的具体取值,得出有界格上Null–范数的构造方法有且仅有三种,并对这三种零范数的序关系作了比较。

2. 预备知识

首先,我们给出与本论文相关的一些概念。

定义1 ([3]):在一个偏序集 ( L , ) 中,如果任意二元 x , y L 都有上确界 x y 和下确界 x y ,则称偏序集 ( L , ) (或简称L)为一个格。

这时, x y x y 分别叫做x与y的并与交。

定义2 ([4]):有界格是一个有最小元0与最大元1的格 ( L , ) ,即存在两个元素 0 , 1 L 使得对所有的 x L 0 x 1

定义3 ([4]):给定一个有界格 ( L , , 0 , 1 ) ,如果a和b是不可比的,我们用符号 a | | b ,这里 a , b L

( L , , 0 , 1 ) 是一个有界格, a L ,那么与a不可比的元素的集合我们记作 I a = { x L | x | | a }

定义4 ([5]):令 ( L , , 0 , 1 ) 是一个有界格,二元运算 T : L 2 L 称为三角范数,若对任意的 x , y , z L T ( x , y ) 满足以下四个条件:

1) T ( x , y ) = T ( y , x ) (交换性);

2) T ( T ( x , y ) , z ) = T ( x , T ( y , z ) ) (结合性);

3) 当 y z 时,有 T ( x , y ) T ( x , z ) (单调递增性);

4) T ( x , 1 ) = 1

定义5 ([5]): ( L , , 0 , 1 ) 是一个有界格,二元运算 S : L 2 L 称为三角对偶范数,若对任意的 x , y , z L S ( x , y ) 满足以下四个条件:

1) S ( x , y ) = S ( y , x ) (交换性);

2) S ( S ( x , y ) , z ) = S ( x , S ( y , z ) ) (结合性);

3) 当 y z 时,有 S ( x , y ) S ( x , z ) (单调递增性);

4) S ( x , 0 ) = x

定义6 ([1]): ( L , , 0 , 1 ) 是一个有界格,二元运算 V : L 2 L 称为Null–范数,若对任意的 x , y , z L V ( x , y ) 满足以下四个条件:

1) V ( x , y ) = V ( y , x ) (交换性);

2) V ( V ( x , y ) , z ) = V ( x , V ( y , z ) ) (结合性);

3) 当 y z 时,有 V ( x , y ) V ( x , z ) (单调递增性);

4) 存在 a [ 0 , 1 ] ,对任意的 x [ 0 , a ] ,使得 V ( x , 0 ) = x ;对任意的 x [ a , 1 ] ,使得 V ( x , 1 ) = x

我们可以得到,对所有的 x L V ( x , a ) = a ,因此我们说 a L 是V的零元。

考虑L上的所有的Null–范数的集合 ν :对 V 1 , V 2 ν ( x , y ) L 2 V 1 V 2 V 1 ( x , y ) V 2 ( x , y )

我们用 D α 表示集合: D α = ( a , 1 ] × [ 0 , a ) [ 0 , a ) × ( a , 1 ]

例1: ( L , , 0 , 1 ) 是一个有界格,有界格L上最小的三角范数 T W ,最大的三角范数 T 分别定义如下:

T W ( x , y ) = { y x = 1 x y = 1 0 otherwise

T ( x , y ) = x y

有界格L上最小的三角对偶范数 S ,最大的三角对偶范数 S W 分别定义如下:

S ( x , y ) = x y

S W ( x , y ) = { y x = 0 x y = 0 1 otherwise

2015年,F. Karacal, M.A. Ince, R. Mesiar在文献 [1] 中提出了三种Null–范数的构造方法,具体如下:

V a ( S ) ( x , y ) = { S ( x , y ) ( x , y ) [ 0 , a ] 2 a ( x , y ) [ a , 1 ) 2 [ a , 1 ] × I a I a × [ a , 1 ] D α S ( x a , y a ) ( x , y ) [ 0 , a ] × I a I a × [ 0 , a ] I a × I a x y otherwise

V a ( T ) ( x , y ) = { T ( x , y ) ( x , y ) [ a , 1 ] 2 a ( x , y ) [ 0 , a ) 2 [ 0 , a ] × I a I a × [ 0 , a ] D α T ( x a , y a ) ( x , y ) [ a , 1 ] × I a I a × [ a , 1 ] I a × I a x y otherwise

V a ( T , S ) ( x , y ) = { S ( x , y ) ( x , y ) [ 0 , a ] 2 T ( x , y ) ( x , y ) [ a , 1 ] 2 a otherwise

2018年,Umit Ertugrul在文献 [2] 中给出了两种Null–范数的构造方法:

V T S ( x , y ) = { S ( x , y ) ( x , y ) [ 0 , a ] 2 T ( x , y ) ( x , y ) [ a , 1 ] 2 S ( x a , y a ) ( x , y ) [ 0 , a ] × I a I a × [ 0 , a ] I a × I a a otherwise

V S T ( x , y ) = { S ( x , y ) ( x , y ) [ 0 , a ] 2 T ( x , y ) ( x , y ) [ a , 1 ] 2 T ( x a , y a ) ( x , y ) [ a , 1 ] × I a I a × [ a , 1 ] I a × I a a otherwise

其中 T ( x , y ) 是定义在 [ a , 1 ] 上的三角范数, S ( x , y ) 是定义在 [ 0 , a ] 上的三角对偶范数。

3. 主要结果

我们从Null–范数在不同区间上可能的取值入手,分别讨论每个区间的具体取值,得出了下面的定理。

定理:令 ( L , , 0 , 1 ) 是一个有界格, a L \ { 0 , 1 } S ( x , y ) [ 0 , a ] 上的三角对偶范数, T ( x , y ) [ a , 1 ] 上的三角范数。那么在有界格L上有零元a的Null–范数 V ( x , y ) 有且仅有三种。

证明:首先我们来讨论一下在一般的有界格上Null–范数在不同区间上的取值,根据Null–范数的定义我们把有界格上的元素与零元a的关系划分为9个区域如图1

Figure 1. Interval division graph

图1. 区间划分图

这里讨论的是一般有界格,在格区间上Null–范数可能出现的取值可能是下面情况中的某一种:

1) T ( x , y ) 或者 S ( x , y )

2) T ( x a , y a ) 或者 S ( x a , y a )

3) 0,1,a,x或y。

4) 常数值 c L

下面来做简单分析,分情况讨论9个区域的具体取值,由定义可得:

( x , y ) [ 0 , a ] 2 ( x , y ) [ a , 1 ] 2 V ( x , y ) = T ( x , y )

( x , y ) [ 0 , a ) × ( a , 1 ] ( a , 1 ] × [ 0 , a ) 时:

0 x < a , a < y 1 时, a = V ( x , a ) V ( x , y ) V ( a , y ) = a ,因此, V ( x , y ) = a

0 x < a , a < x 1 时, a = V ( a , y ) V ( x , y ) V ( x , a ) = a ,因此, V ( x , y ) = a

( x , y ) [ 0 , a ] × I a x = V ( x , 0 ) V ( x , y ) V ( a , y ) = a ,所以区间 ( x , y ) [ 0 , a ] × I a 上可能的取值为

( x , y ) [ a , 1 ] × I a a = V ( a , y ) V ( x , y ) V ( x , 1 ) = x ,所以区间 ( x , y ) [ 0 , a ] × I a 上可能的取值为 x , a , T ( x a , y a )

( x , y ) I a × I a 时,可能的取值为: 0 , 1 , a , c , S ( x a , y a ) , T ( x a , y a )

1) 当 ( x , y ) [ 0 , a ] × I a V ( x , y ) = x 时,

x [ 0 , a ] , y [ 0 , a ] , z I a , y z 时,

V ( x , y ) = S ( x , y ) V ( x , z ) = x ,不满足单调性。

2) 当 ( x , y ) [ 0 , a ] × I a V ( x , y ) = a 时,

2.1) 当 ( x , y ) [ a , 1 ] × I a V ( x , y ) = a 时,

2.1.1) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = 0 时,

x I a , y [ 0 , a ] , z I a , y z 时,

V ( x , y ) = a , V ( x , z ) = 0 ,不满足单调性。

2.1.2) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = 1 时,

x I a , y I a , z [ a , 1 ] , y z 时,

V ( x , y ) = 1 , V ( x , z ) = a ,不满足单调性。

2.1.3) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = a 时,

此时我们得到了一个Null–范数的构造:

2.1.4) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = c 时,

c < a , x I a , y [ 0 , a ] , z I a

V ( x , y ) = a , V ( x , z ) = c ,不满足单调性;

c > a , x I a , y I a , z [ a , 1 ]

V ( x , y ) = c , V ( x , z ) = a ,不满足单调性。

2.1.5) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = S ( x a , y a ) 时,

x I a , y [ 0 , a ] , z I a

V ( x , y ) = a , V ( x , z ) = S ( x a , y a ) ,不满足单调性。

2.1.6) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = T ( x a , y a ) 时,

x I a , y I a , z [ a , 1 ]

V ( x , y ) = T ( x a , y a ) , V ( x , z ) = a 不满足单调性。

2.2) 当 ( x , y ) [ a , 1 ] × I a V ( x , y ) = T ( x a , y a ) 时,

2.2.1) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = 0 时,

x I a , y [ 0 , a ] , z I a , y z 时,

V ( x , y ) = a , V ( x , z ) = 0 ,不满足单调性。

2.2.2) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = 1 时,

x I a , y I a , z [ a , 1 ] , y z 时,

V ( x , y ) = 1 , V ( x , z ) = T ( x a , z ) ,不满足单调性。

2.2.3) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = a 时,

x I a , y I a , z [ a , 1 ] , y z 时,

V ( V ( x , y ) , z ) = V ( a , z ) = a

V ( x , V ( y , z ) ) = V ( x , T ( y a , z ) ) = T ( x a , T ( y a , z ) ) ,不满足结合律。

2.2.4) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = c 时,

c < a , x I a , y [ 0 , a ] , z I a

V ( x , y ) = a , V ( x , z ) = c ,不满足单调性;

c > a , x I a , y I a , z [ a , 1 ]

V ( x , y ) = c , V ( x , z ) = T ( x a , y a ) ,不满足单调性。

2.2.5) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = S ( x a , y a ) 时,

x [ 0 , a ] , y I a , z I a V ( V ( x , y ) , z ) = V ( a , z ) = a

V ( x , V ( y , z ) ) = V ( x , S ( y a , z a ) ) = S ( x , S ( y a , z a ) ) ,不满足结合律。

2.2.6) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = T ( x a , y a ) 时,

此时我们得到了一种Null–范数的构造方法,它的表达式为:

V S T ( x , y ) = { S ( x , y ) ( x , y ) [ 0 , a ] 2 T ( x , y ) ( x , y ) [ a , 1 ] 2 T ( x a , y a ) ( x , y ) [ a , 1 ] × I a I a × [ a , 1 ] I a × I a a otherwise

2.3) 当 ( x , y ) [ a , 1 ] × I a V ( x , y ) = x 时,

x [ a , 1 ] , y I a , z [ a , 1 ]

V ( x , y ) = a , V ( x , z ) = T ( x , z ) ,不满足单调性。

3) 当 ( x , y ) [ 0 , a ] × I a V ( x , y ) = S ( x a , y a ) 时,

3.1) 当 ( x , y ) [ a , 1 ] × I a V ( x , y ) = a 时,

3.1.1) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = 0 时,

x I a , y [ 0 , a ] , z I a , y z 时,

V ( x , y ) = S ( x a , y a ) , V ( x , z ) = 0 ,不满足单调性。

3.1.2) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = 1 时,

x I a , y I a , z [ a , 1 ] , y z 时,

V ( x , y ) = 1 , V ( x , z ) = a ,不满足单调性。

3.1.3) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = a 时,

x [ 0 , a ] , y I a , z I a 时,

V ( V ( x , y ) , z ) = V ( S ( x a , y a ) , z ) = S ( S ( x a , y a ) , z a )

V ( x , V ( y , z ) ) = V ( x , a ) = a ,不满足结合律。

3.1.4) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = c 时,

c < a , x [ 0 , a ] , y I a , z I a

V ( V ( x , y ) , z ) = V ( S ( x a , y a ) , z ) = S ( S ( x a , y a ) , z a )

V ( x , V ( y , z ) ) = V ( x , c ) = S ( x , c ) ,不满足结合律。

c > a , x [ 0 , a ] , y I a , z I a

V ( V ( x , y ) , z ) = V ( S ( x a , y a ) , z ) = S ( S ( x a , y a ) , z a )

V ( x , V ( y , z ) ) = V ( x , c ) = a ,不满足结合律。

3.1.5) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = S ( x a , y a ) 时,

此时我们得到了一种Null–范数的构造方法,它的表达式为:

V T S ( x , y ) = { S ( x , y ) ( x , y ) [ 0 , a ] 2 T ( x , y ) ( x , y ) [ a , 1 ] 2 S ( x a , y a ) ( x , y ) [ 0 , a ] × I a I a × [ 0 , a ] I a × I a a otherwise

3.1.6) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = T ( x a , y a )

x [ 0 , a ] , y I a , z I a

V ( V ( x , y ) , z ) = V ( S ( x a , y a ) , z ) = S ( S ( x a , y a ) , z a )

V ( x , V ( y , z ) ) = V ( x , T ( y a , z a ) ) = a ,不满足结合律。

3.2) 当 ( x , y ) [ a , 1 ] × I a V ( x , y ) = T ( x a , y a ) 时,

3.2.1) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = 0 时,

x I a , y [ 0 , a ] , z I a , y z 时,

V ( x , y ) = S ( x a , y ) ,不满足单调性。

3.2.2) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = 1 时,

x I a , y I a , z [ a , 1 ] , y z 时,

V ( x , y ) = 1 , V ( x , z ) = T ( x a , z ) ,不满足单调性。

3.2.3) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = a 时,

x [ 0 , a ] , y I a , z I a , y z 时,

V ( V ( x , y ) , z ) = V ( S ( x , y a ) , z ) = S ( S ( x , y a ) , z a )

V ( x , V ( y , z ) ) = V ( x , a ) = a ,不满足结合律。

3.2.4) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = c 时,

c < a , x [ 0 , a ] , y I a , z I a

V ( V ( x , y ) , z ) = V ( S ( x , y a ) , z ) = S ( S ( x , y a ) , z a )

V ( x , V ( y , z ) ) = V ( x , c ) = S ( x , c ) ,不满足结合律。

c > a , x [ 0 , a ] , y I a , z I a

V ( V ( x , y ) , z ) = V ( S ( x , y a ) , z ) = S ( S ( x , y a ) , z a )

V ( x , V ( y , z ) ) = V ( x , c ) = a ,不满足结合律。

3.2.5) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = S ( x a , y a ) 时,

x [ a , 1 ] , y I a , z I a

V ( V ( x , y ) , z ) = V ( T ( x , y a ) , z ) = T ( T ( x , y a ) , z a )

V ( x , V ( y , z ) ) = V ( x , S ( y a , z a ) ) = a ,不满足结合律。

3.2.6) 当 ( x , y ) I a × I a V ( x , y ) = T ( x a , y a ) 时,

x [ 0 , a ] , y I a , z I a

V ( V ( x , y ) , z ) = V ( S ( x , y a ) , z ) = S ( S ( x , y a ) , z a )

V ( x , V ( y , z ) ) = V ( x , T ( y a , z a ) ) = a ,不满足结合律。

因此,综上所述,有界格上的Null–范数只有三种。

证毕。

通过对定理的证明我们发现当 V T S T = T W 时, V T S = V a ( S ) ;当 V S T 时, V S T = V a ( T ) 。也就是说, V a ( S ) V a ( T ) V T S V S T 的特殊情况,因此我们只需要对三种Null–范数进行比较。

命题:令 ( L , , 0 , 1 ) 是一个有界格, a L \ { 0 , 1 } S ( x , y ) [ 0 , a ] 上的三角对偶范数, T ( x , y ) [ a , 1 ] 上的三角范数。那么 V T S V a ( T , S ) V S T

显然成立。

4. 小结

从Null–范数的定义出发,在前人给出的五种有界格上Null–范数的构造方法的基础上,讨论了有界格上不同区间上的Null–范数的取值情况,证明了有界格上Null–范数的构造方法有且仅有三种,我们发现当 V T S T = T W 时, V T S = V a ( S ) ;当 V S T S = S W 时, V S T = V a ( T ) 。并给出了三种Null–范数之间的大小关系。

基金项目

中央民族大学硕士研究生自主科研项目资助(项目编号:182011)。

参考文献

文章引用: 高燕良 , 张昆龙 (2019) 有界格上的Null–范数构造方法的讨论。 运筹与模糊学, 9, 123-130. doi: 10.12677/ORF.2019.92014

参考文献

[1] Karacal, F., Ince, M.A. and Mesiar, R. (2015) Nullnorms on Bounded Lattices. Information Sciences, 325, 227-236.
https://doi.org/10.1016/j.ins.2015.06.052

[2] Ertugrul, U. (2018) Construction of Nullnorms on Bounded Lattices and an Equivalence Relation on Nullnorm. Fuzzy Sets and Systems, 334, 94-109.
https://doi.org/10.1016/j.fss.2017.07.020

[3] 陈杰. 格论初步[M]. 呼和浩特: 内蒙古大学出版社, 1988.

[4] Mesiar, R. and Pap, E. (1998) Different Interpretations of Triangular Norms and Related Operations. Fuzzy Sets and Systems, 96, 183-189.
https://doi.org/10.1016/S0165-0114(96)00290-4

[5] Klement, E.P., Mesiar, R. and Pap, E. (2000) Triangular Norms. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht.
https://doi.org/10.1007/978-94-015-9540-7

分享
Top