完备黎曼流形上椭圆方程的局部梯度估计
Local Derivative Estimates for an Elliptic Equation on Complete Riemannian Manifolds

作者: 王子君 :中国地质大学(武汉),数学与物理学院,湖北 武汉;

关键词: 梯度估计椭圆方程完备黎曼流形Gradient Estimate Elliptic Equation Complete Riemannian Manifold

摘要:
本文的主要目的是在一个完备黎曼流形上推导出一个二阶椭圆方程Δfu=plogu+qu的局部梯度估计,该方程具有光滑函数f、p和q。

Abstract: The main purpose of this paper is to derive local gradient estimates for a second-order elliptic equation of Δfu=plogu+qu with smooth functions f, p and q on a complete Riemannian man-ifold.

1. 研究背景

梯度估计是研究偏微分方程解的重要工具之一。历史上,S. T. Yau [1] 证明了一个全局梯度估计:对于 n 维的具有下界的Ricci曲率(即 R i c ( n 1 ) K ,这里整数 K 0 )的黎曼流形上的正调和函数 u (即 Δ u = 0 ),我们有 | u | ( n 1 ) K u 。在此基础上,对椭圆方程的梯度估计进行了研究。举几个例子,L. Ma [2] 推导了下列椭圆方程的局部梯度估计:

Δ u + a u log u + b u = 0 , (1.1)

这是从在 a < 0 b 为常数的黎曼流形上的Ricci孤子的势推导出的。2017年,B. Ma,G. Huang和Y. Luo [3] 证明了在完备黎曼流形上对于 Δ u + c u α = 0 的正解的梯度估计,其中 c α 是两个实常值,并且 c 0

f -Laplacian是Laplace-Beltrami算子的自然类比,它由 C 2 函数 u 定义:

Δ f u = Δ u u , f ,

Bakry-Émery Ricci曲率定义为:

R i c f : = R i c + H e s s f .

K. Brighton [4] 研究了下列方程的正解的梯度估计:

Δ f u = 0 , (1.2)

并且得到了Liouville定理:在具有非负Bakry-Émery Ricci曲率的完备光滑度量空间上,具有正边界的 f -调和函数(即 Δ f u = 0 )是常值。此外,G. He和S. Zhang [5] 证明了在具有非负Bakry-Émery Ricci曲率的完备光滑度量空间上的 f -调和函数新的梯度估计。

受这些工作的启发,我们考虑了一个 n 维完备黎曼流形上的二阶椭圆偏微分方程 ( M n , g )

Δ f u = p u log u + q u , (1.3)

这里 f p q C ( M n ) 。很明显,公式(1.3)是(1.1)和(1.2)的一般化。

本文的主要研究成果如下。首先,我们证明了(1.3)的正解的局部梯度估计。

定理1.1:假设 ( M n , g ) 是一个 n -维黎曼流形,在 B ( x ¯ , 2 ρ ) 上对于 K 0 ,有 R i c f ( n 1 ) K 。这里 ρ 1 ,且 u ( x ) 是公式(1.3)的正解。则存在正常值 C 1 C 2 使得对于任意常数 0 < ε < 1 ,我们得到在 B ( x ¯ , ρ ) ¯ 上,有:

| u | u 2 n 1 ε [ | α | C 1 + ( n 1 ) K ( 2 ρ 1 ) C 1 2 ρ + C 2 2 ρ 2 + ( 2 n + ε ) C 1 2 ε ρ 2 + D θ 1 + σ 1 + η 1 2 n + θ 1 + ( n 1 ) K + D θ 2 + σ 2 2 ] 1 2 + n ( θ 2 + σ 2 ) 1 ε 4 , (1.4)

特别地,在 B ( x ¯ , 1 ) ¯ 上,有:

| u | u 2 n [ D θ 1 + σ 1 n + η 1 2 n + θ 1 + ( n 1 ) K + D θ 2 2 + σ 2 2 ] 1 2 + n ( D θ 2 + σ 2 ) 4 . (1.5)

B ( x ¯ , 2 ρ ) 上,对于正常值 D θ 1 θ 2 σ 1 σ 2 η 1 ,我们假设 α : = max B ( x ¯ , 1 ) Δ f r u e D | p | θ 1 | p | θ 2 | q | σ | q | σ 2 | f | η 1

2. 理论基础

这部分内容,我们主要是陈述由E. Calabi [6] (同样参考 [2] [7] )提出的关于cut-off函数的一些结论。选择一个 C 2 函数 ξ : [ 0 , + ) [ 0 , 1 ] 使得对于 0 s 1 ξ ( s ) = 1 ,并且对于 s 2 ξ ( x ) = 0 。此外,对于常值 C 1 > 0 C 2 > 0 ,有

C 1 ξ ( s ) ξ ( s ) 0

ξ ( s ) C 2 .

在一个 n -维黎曼流形 ( M n , g ) 上,假设 r ( x ) : = d ( x , x ¯ ) 是对于固定点 x ¯ M n 的一个距离函数。对于任意的 ρ 1 ,我们定义cut-off函数: φ ( x ) = ξ ( r ( x ) ρ ) 。不失一般性,我们假设在 B ( x ¯ , 2 ρ ) 内具有支撑集的函数 φ C 2 的(参考E. Calabi [6] )。

通过计算可以得到,在 B ( x ¯ , 2 ρ ) 上,

| φ | 2 φ C 1 2 ρ 2 , (2.1)

并且

Δ f φ = ξ Δ f r ρ + ξ | r | 2 ρ 2 . (2.2)

如果对于一些非负常数 K ,有 R i c f ( n 1 ) K ,并且 x B ( x ¯ , 2 ρ ) \ B ( x ¯ , 1 ) ,那么由 f -Laplacian比较定理(参考 [8] [9] )可以推出:

Δ f r ( x ) α + ( n 1 ) K ( 2 ρ 1 ) , (2.3)

这里 α = max B ( x ¯ , 1 ) Δ f r

因此,我们可以从公式(2.2)和(2.3)中得出

Δ f φ ( x ) C 1 ρ [ α + ( n 1 ) K ( 2 ρ 1 ) ] C 2 ρ 2 . (2.4)

3. 梯度估计

在这章我们会证明定理1.1。首先需要得出两个公式。

引理3.1:假设 ( M n , g ) 是一个 n -维黎曼流形,它满足在 B ( x ¯ , 2 ρ ) ( ρ 1 )上,对于 K 0 ,有 R i c f ( n 1 ) K 。函数 u ( x ) 是公式(1.3)的一个正解。如果 h : = log u ,我们有:

Δ f h = p h + q | h | 2 , (3.1)

并且

1 2 Δ f | h | 2 1 2 n ( Δ f h ) 2 1 n h , f 2 + p | h | 2 + R i c f ( h , h ) + h p , h + q , h h , | h | 2 . (3.2)

证明:通过 h = u u 和(1.3),我们有

Δ f h = Δ f u u | u | 2 u 2 = p h + q | h | 2 .

根据柯西不等式,可以得出

( Δ f h ) 2 = ( Δ h h , f ) 2 2 ( Δ h ) 2 + 2 h , f 2 2 n | Hessh | 2 + 2 h , f 2 ,

也就是,

| Hessh | 2 1 2 n ( Δ f h ) 2 1 n h , f 2 . (3.3)

通过直接计算可以得到

1 2 Δ f | h | 2 = | Hessh | 2 + Δ h , h 1 2 | f | 2 , f = | Hessh | 2 + Δ h , h + R i c ( h , h ) Hessh ( h , f ) = | Hessh | 2 + Δ f h , h + R i c f ( h , h ) | Hessh | 2 + ( p h + q | h | 2 ) , h + R i c f ( h , h ) = | Hessh | 2 + [ p ( n 1 ) K ] | h | 2 + h p , h + q , h h , | h | 2 1 2 n ( Δ f h ) 2 1 n h , f 2 + p | h | 2 + R i c f ( h , h ) + h p , h + q , h h , | h | 2 .

第二个等式用到了Bochner公式,最后不等式用到了公式(3.3)。

现在开始证明定理1.1。

定理3.2:假设 ( M n , g ) 是一个 n -维黎曼流形,它满足在 B ( x ¯ , 2 ρ ) ( ρ 1 )上,对于 K 0 ,有 R i c f ( n 1 ) K 。函数 u ( x ) 是公式(1.3)的一个正解。对于任意的常数 0 < ε < 1 ,在 B ( x ¯ , ρ ) ¯ 上,有:

| u | u 2 n 1 ε [ | α | C 1 + ( n 1 ) K ( 2 ρ 1 ) C 1 2 ρ + C 2 2 ρ 2 + ( 2 n + ε ) C 1 2 ε ρ 2 + D θ 1 + σ 1 + η 1 2 n + θ 1 + ( n 1 ) K + D θ 2 + σ 2 2 ] 1 2 + n ( θ 2 + σ 2 ) 1 ε 4 , (3.4)

特别地,在 B ( x ¯ , 1 ) ¯

| u | u 2 n [ D θ 1 + σ 1 n + η 1 2 n + θ 1 + ( n 1 ) K + D θ 2 2 + σ 2 2 ] 1 2 + n ( D θ 2 + σ 2 ) 4 . (3.5)

B ( x ¯ , 2 ρ ) 上,对于正常值 D θ 1 θ 2 σ 1 σ 2 η 1 ,我们假设 α : = max B ( x ¯ , 1 ) Δ f r u e D | p | θ 1 | p | θ 2 | q | σ 1 | q | m a 2 | f | η 1

证明:与第二部分中的内容类似,选择cut-off函数 φ ,我们有

1 2 Δ f ( φ | h | 2 ) = 1 2 ( Δ f φ ) | h | 2 + φ 2 Δ f | h | 2 + φ , | h | 2 1 2 ( Δ f φ ) | h | 2 + φ 2 n ( p h + q | h | 2 ) 2 φ n h , f 2 + [ p ( n 1 ) K ] φ | h | 2 ] + φ h p , h + φ q , h h , ( φ | h | 2 ) + | h | 2 φ , h + 1 φ φ , ( φ | h | 2 ) | h | 2 φ | h | 2 , (3.6)

这里用到了引理1。

定义 G : = ( φ | h | 2 ) ,假设 x 1 G 的最大值点。我们可以分两种情况讨论:

情况1: x 1 B ( x ¯ , ρ ) ¯ \ B ( x ¯ , ) 1 。这种情况下,为了简便我们记

A : = C 1 2 ρ [ α + ( n 1 ) K ( 2 ρ 1 ) ] + C 2 2 ρ 2 .

在点 x 1 ,在公式(3.6)两边同时乘以 φ ,应用公式(2.4),对于任意的 0 < ε < 1 ,可以得到

0 A G + φ 2 2 n ( p h + q | h | 2 ) 2 φ n | f | 2 G + [ p ( n 1 ) K ] φ G φ 3 2 h | p | G 1 2 φ 3 2 | q | G 1 2 | φ | φ 1 / 2 G 3 2 | φ | 2 φ G A G φ 2 n ( p h + q ) | h | 2 + G 2 2 n | f | 2 n G [ | p | + ( n 1 ) K ] G | h | | p | 2 ( 1 + G ) | q | 2 ( 1 + G ) C 1 ρ G 3 2 C 1 2 ρ 2 G 1 ε 2 n G 2 [ A + | p h + q | n + | f | 2 n + | p | + ( n 1 ) K + | h | | p | 2 + | q | 2 + 2 n C 1 2 ε ρ 2 + C 1 2 ρ 2 ] G | h | | p | + | q | 2 , (3.7)

这里用到了柯西不等式和公式(2.1)。

我们可以得到

1 ε 2 n G 2 ( x 1 ) [ A + D θ 1 + σ 1 n + η 1 2 n + θ 1 + ( n 1 ) K + D θ 2 2 + σ 2 2 + 2 n C 1 2 ε ρ 2 + C 1 2 ρ 2 ] G ( x 1 ) + D θ 2 + σ 2 2 , (3.8)

即在点 x 1 ,有

G 2 ( x 1 ) 2 n 1 ε [ A + D θ 1 + σ 1 n + η 1 2 n + θ 1 + ( n 1 ) K + D θ 2 2 + σ 2 2 + 2 n C 1 2 ε ρ 2 + C 1 2 ρ 2 ] G ( x 1 ) + n ( D θ 2 + σ 2 ) 1 ε . (3.9)

回想这样一个结论:对于一些 a 0 , a 1 , a 2 0 ,如果 a 0 2 a 1 + a 0 a 2 ,则

a 0 a 2 2 + a 1 + a 2 2 4 a 2 2 + a 1 + a 2 2 = a 2 + a 1 .

因此,我们可以从公式(3.9)得出 G ( x 1 ) 的一个上界。在点 x 1

G ( x 1 ) 2 n 1 ε [ A + D θ 1 + σ 1 n + η 1 2 n + θ 1 + ( n 1 ) K + D θ 2 2 + σ 2 2 + 2 n C 1 2 ε ρ 2 + C 1 2 ρ 2 ] + ( n ( D θ 2 + σ 2 ) 1 ε ) 1 2 . (3.10)

注意到

s u p x B ( x ¯ , ρ ) ¯ | h | 2 = s u p x B ( x ¯ , ρ ) ¯ ( φ | h | 2 ) G ( x 1 ) ,

从公式(3.10)可得,在 B ( x ¯ , ρ ) ¯ 上:

| u | u 2 n 1 ε [ A + D θ 1 + σ 1 n + η 1 2 n + θ 1 + ( n 1 ) K + D θ 2 2 + σ 2 2 + 2 n C 1 2 ε ρ 2 + C 1 2 ρ 2 ] 1 2 + ( n ( D θ 2 + σ 2 ) 1 ε ) 1 4 . (3.11)

情况2: x 1 B ( x ¯ , 1 ) ¯ 。在这种情况下, φ ( x 1 ) = 1 ,且 φ ( x 1 ) = Δ f φ ( x 1 ) = 0

运用公式(3.6),在点 x 1 有:

0 1 2 n ( p h + q G ) 2 | f | 2 G n + [ p ( n 1 ) K ] G h | p | G 1 2 | q | G 1 2 1 n ( p h + q ) G + G 2 2 n | f | 2 n G | p | G ( n 1 ) K G | h | | p | 2 ( 1 + G ) | q | 2 ( 1 + G ) = G 2 2 n [ | p h + q | n + | f | 2 n + | p | + ( n 1 ) K + | h | | p | 2 + | q | 2 ] G | h | | p | + | q | 2 . (3.12)

另外,我们得到

G 2 ( x 1 ) 2 n [ | p h + q | n + | f | 2 n + | p | + ( n 1 ) K + | h | | p | 2 + | q | 2 ] G + n ( | h | | p | + | q | ) 2 n [ D θ 1 + σ 1 n + η 1 2 n + θ 1 + ( n 1 ) K + D θ 2 2 + σ 2 2 ] G ( x 1 ) + n ( D θ 2 + σ 2 ) . (3.13)

与情况1的证明过程类似,可以从公式(3.13)推出 | u | u 的上界。在 B ( x ¯ , ρ ) ¯ 上,

| u | u 2 n [ D θ 1 + σ 1 n + η 1 2 n + θ 1 + ( n 1 ) K + D θ 2 2 + σ 2 2 ] 1 2 + [ n ( D θ 2 + σ 2 ) ] 1 4 . (3.14)

根据公式(3.11)和(3.14),很快能得到公式(3.4)和(3.5)。

文章引用: 王子君 (2019) 完备黎曼流形上椭圆方程的局部梯度估计。 应用数学进展, 8, 657-663. doi: 10.12677/AAM.2019.84073

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