单调保k变换半群ORn(K)的Green关系
Green’s Relations of Semigroup Monotone and k-Preserving Transformations

作者: 孙 艳 :贵州师范大学,数学科学学院,贵州 贵阳;

关键词: 保序变换半群Green关系Order Preserving Transformation Semigroups Green’s Relations

摘要:
设Xn=﹛1,2,...n﹜是有限集, Singn是Xn上的奇异变换半群,On和Rn是Singn上的保序变换之集和反保序变换之集,令ORn(K) =﹛α∈On:Kα=K﹜∪﹛α∈Rn:Kα=K﹜,刻画了半群ORn(K)的Green关系。

Abstract: Let Xn=﹛1,2,...n﹜ denote a finite set, Singn is Singular transformation semigroups on it. On and Rn is Order-preserving and anti-order-preserving transformation semigroups of Singn . Let ORn(K) =﹛α∈On:Kα=K﹜∪﹛α∈Rn:Kα=K﹜, this paper describes Green’s relations of ORn(K) .

1. 引言与准备

众所周知,半群的Green关系研究对于半群代数理论的形成和发展起了极其重要的作用,是研究半群的秩、组合数等的重要内容之一,许多学者对其进行了研究 [1] [2] [3] 。本文考虑 O R n ( k ) 的Green关系,标准定义及未解释符号请参考文献 [4] 。

X n = { 1 , 2 , , n } 并赋予自然序, T n X n 上的全变换半群, S i n g n = { α T n : | i m α | < n } X n 上的奇异变换半群。设 α S i n g n ,若对任意 x , y X n ,有 x y x α y α ( x y x α y α ) ,称 α 是保序(反序)的。设 O n R n 分别为 S i n g n 上的保序变换之集和反保序变换之集,则 O n S i n g n 的子半群,称 O n S i n g n 上的保序变换半群。对任意 1 ≤ k ≤ n,令

O n ( k ) = { α O n : k α = k }

R n ( k ) = { α R n : k α = k }

O n ( k ) R n ( k ) S i n g n 的子集。

定义1:设 1 k n ,令

O R n ( k ) = O n ( k ) R n ( k )

显然, O R n ( k ) 在变换的合成下构成 S i n g n 的一个子半群,称之为单调保k变换半群。

定义2:设S是半群, a S , B S a B = { a b : b B } ,则下列五个关系:

L = { ( a , b ) : a , b S , S 1 a = S 1 b }

R = { ( a , b ) : a , b S , a S 1 = b S 1 }

D = L R

H = L R

J = { ( a , b ) : a , b S , S 1 a S 1 = S 1 b S 1 }

统称为半群S上的Green关系。显然,每个D_类是一些L_类与一些R_类的无交并。因此,每个D_类都具有矩阵结构(称为蛋盒图),该矩阵的每一行是一个R_类,每一列是一个L_类,行与列的交叉位置是由R_类与L_类共同决定的H_类,且有限变换半群中 D = J

2. 主要结果及证明

A i , A j X n ,对任意 x A i , y A j ,都有 x < y ,记作 A i < A j

1 k n α O R n ( k ) ,记:

p α ( k ) = { y i m ( α ) : y < k } , p α ( k ) = | p α ( k ) |

Q α ( k ) = { y i m ( α ) : y < k } , q α ( k ) = | Q α ( k ) |

易知,对于 A 1 < A 2 < < A p α ( k ) < K α < B 1 < B 2 < < B q α ( k ) ( K α 表示 α 中k所在的核类),半群 ORn(k) 的元素 α 有如下标准表示:

情形1:元素 α O n ( k )

( A i a i | a i P α ( k ) i = 1 , 2 , , p α ( k ) K α k B j b j | b j Q α ( k ) j = 1 , 2 , , q α (k))

注1:当 P α ( k ) = 0 时, K α α 中最小的核类;当 q α ( k ) = 0 时, K α α 中最大的核类。

情形2:元素 α R n ( k )

( A i a i | a i Q α ( k ) i = 1 , 2 , , q α ( k ) K α k B j b j | b j P α ( k ) j = 1 , 2 , , p α (k))

注2:当 q α ( k ) = 0 时, K α α 中最小的核类;当 P α ( k ) = 0 时, K α α 中最大的核类。

定理1:设 α , β O R n ( k ) ,则 α L β i m ( α ) = i m ( β )

证明:假设 ( α , β ) L ,则存在 δ , γ O R n ( k ) ,使得 α = δ β β = γ α ,于是 X n α = ( X n δ ) β X n β = ( X n γ ) α ,从而 i m ( α ) i m ( β ) i m ( β ) i m ( α ) 。因此 i m ( α ) = i m ( β ) 。反之,假设 i m ( α ) = i m ( β ) x X n ,令

x δ = { min ( x α ) β 1 , x X n \ { k } , k , x = k ;

x γ = { min ( x β ) α 1 , x X n \ { k } , k , x = k ;

则显然 α = δ β β = γ α 。且 δ , γ O R n ( k ) 。因此, ( α , β ) L

定理2:设 α , β O R n ( k ) ,则 α R β k e r ( α ) = k e r ( β )

证明:假设 ( α , β ) R ,则存在 δ , γ O R n ( k ) ,使 α = β δ β = α γ 。任取 ( x , y ) k e r ( α ) ,若 x α = y α ,则 x β = ( x α ) γ = ( y α ) γ = y β ,从而。由 x , y 的任意性可得, k e r ( α ) k e r ( β ) 。同理可证得, k e r ( α ) k e r ( β ) 。因此, k e r ( α ) = k e r ( β ) 。反之,假设 k e r ( α ) = k e r ( β ) 。不妨设

α = ( A 1 A 2 A l K α B 1 B 2 B m a 1 a 2 a l k b 1 b 2 b m )

β = ( A 1 A 2 A l K α B 1 B 2 B m a ˜ 1 a ˜ 2 a ˜ l k b ˜ 1 b ˜ 2 b ˜ m )

其中, A 1 < A 2 < < A l < K α < < B 1 < B 2 < < B m 。下面分四种情形讨论:

情形1:设 α , β O n ( k ) ,则 a 1 < < k < < b m , a ˜ 1 < < k < < b ˜ m

δ = ( [ 1 , a ˜ 1 ] ( a ˜ 1 , a ˜ 2 ] ( a ˜ l , k ] ( k , b ˜ 1 ] ( b ˜ m 1 , n ] a 1 a 2 k b 1 b m )

γ = ( [ 1 , a 1 ] ( a 1 , a 2 ] ( a l , k ] ( k , b ˜ 1 ] ( b m 1 , n ] a ˜ 1 a ˜ 2 k b 1 b ˜ m )

从而存在 δ , γ O R n ( k ) ,使 α = β δ , β = α γ

情形2:设 α , β R n ( k ) ,则 a 1 > > k > > b m , a ˜ 1 > > k > > b ˜ m

δ = ( [ 1 , b ˜ m ] ( b ˜ 1 , k ] ( k , a ˜ l ] ( a ˜ 2 , n ] b m k a l a 1 )

γ = ( [ 1 , b m ] ( b 1 , k ] ( k , a l ] ( a 1 , n ] b ˜ m k a ˜ l a ˜ 1 )

从而存在 δ , γ O R n ( k ) ,使 α = β δ , β = α γ

情形3:设 α O n ( k ) , β R n ( k ) ,则 a 1 < < k < < b m , a ˜ 1 > > k > > b ˜ m

δ = ( [ 1 , b ˜ m ] ( b ˜ 1 , k ] ( k , a ˜ l ] ( a ˜ 2 , n ] b m k a l a 1 )

γ = ( [ 1 , a 1 ] ( a 1 , a 2 ] ( a l , k ] ( k , b 1 ] ( b m 1 , n ] a ˜ 1 a ˜ 2 k b ˜ 1 b ˜ m )

从而存在 δ , γ O R n ( k ) ,使 α = β δ , β = α γ

情形4:设 α R n ( k ) , β O n ( k ) ,则 a 1 > > k > > b m , a ˜ 1 < < k < < b ˜ m

δ = ( [ 1 , a ˜ 1 ] ( a ˜ 1 , a ˜ 2 ] ( a ˜ l , k ] ( k , b ˜ 1 ] ( b ˜ m 1 , n ] a 1 a 2 k b 1 b m )

γ = ( [ 1 , b m ] ( b 1 , k ] ( k , a l ] ( a 1 , n ] b ˜ m k a ˜ l a ˜ 1 )

从而存在 δ , γ O R n ( k ) ,使 α = β δ , β = α γ

综上, ( α , β ) R

定理3:设 α O R n ( k ) α D β | i m ( α ) | = | i m ( β ) | p α ( k ) = p β ( k ) p α ( k ) = q β ( k )

证明:必要性 先证 ( α , β ) D | i m ( α ) | = | i m ( β ) |

假设 ( α , β ) D ,则存在 γ O R n ( k ) ,使得 α L γ γ R β 。由定理(1) (2)可得, i m ( α ) = i m ( γ ) k e r ( γ ) = k e r ( β ) ,从而

| i m ( α ) | = | i m ( γ ) | = | X n / k e r ( γ ) | = | X n / k e r ( β ) | = | i m ( β ) |

再证 ( α , β ) D p α ( k ) = p β ( k ) p α ( k ) = q β ( k )

假设 ( α , β ) D ,则存在 γ O R n ( k ) ,使得 α L γ γ R β 。则 i m ( α ) = i m ( γ ) k e r ( γ ) = k e r ( β ) ,分以下八种情形:

情形1:设 α , β , γ O n ( k ) ,则 p α ( k ) = p γ ( k ) = p β ( k )

情形2:设 α , γ O n ( k ) , β R n ( k ) ,则 p α ( k ) = p γ ( k ) = q β ( k )

情形3:设 α , β O n ( k ) , γ R n ( k ) ,则 p α ( k ) = p γ ( k ) = q β ( k )

情形4:设 β , γ O n ( k ) , α R n ( k ) ,则 p α ( k ) = p γ ( k ) = p β ( k )

情形5:设 α , β , γ R n ( k ) ,则 p α ( k ) = p γ ( k ) = p β ( k )

情形6:设 α , γ R n ( k ) , β O n ( k ) ,则 p α ( k ) = p γ ( k ) = q β ( k )

情形7:设 α , β R n ( k ) , γ O n ( k ) ,则 p α ( k ) = p γ ( k ) = q β ( k )

情形8:设 β , γ R n ( k ) , α O n ( k ) ,则 p α ( k ) = p γ ( k ) = q β ( k )

充分性:假设 | i m ( α ) | = | i m ( β ) | = r ,设

α = ( A 1 A 2 A l K α B 1 B 2 B m a 1 a 2 a l k b 1 b 2 b m )

β = ( A ˜ 1 A ˜ 2 A ˜ l K α B ˜ 1 B ˜ 2 B ˜ j a ˜ 1 a ˜ 2 a ˜ l k b ˜ 1 b ˜ 2 b ˜ j )

其中, A 1 < A 2 < < A l < K α < < B 1 < B 2 < < B m A ˜ 1 < A ˜ 2 < < A ˜ i < K β < < B ˜ 1 < B ˜ 2 < < B ˜ j l + m = i + j = r 1

情形1: p α ( k ) = p β ( k ) ,分四种情形:

子情形1:设 α , β O n ( k ) ,则 p α ( k ) = p β ( k ) = l = i , m = j ,令

γ = ( A 1 A 2 A l K α B 1 B 2 B m a ˜ 1 a ˜ 2 a ˜ l k b ˜ 1 b ˜ 2 b ˜ j ) O n (k)

从而存在 γ O R n ( k ) ,使 α R γ , γ L β ,即 α D β

子情形2: α , β R n ( k ) ,则 p α ( k ) = p β ( k ) = m = j , l = i ,令

γ = ( A 1 A 2 A l K α B 1 B 2 B m a ˜ 1 a ˜ 2 a ˜ l k b ˜ 1 b ˜ 2 b ˜ j ) R n (k)

从而存在 γ O R n ( k ) ,使 α R γ , γ L β ,即 α D β

子情形3:设 α O n ( k ) β R n ( k ) ,则 p α ( k ) = p β ( k ) = l = j , m = i ,令

γ = ( A 1 A 2 A l K α B 1 B 2 B m b ˜ j b ˜ j 1 b ˜ l k a ˜ i a ˜ i 1 a ˜ 1 ) O n (k)

从而存在 γ O R n ( k ) ,使 α R γ , γ L β ,即 α D β

子情形4:设 α R n ( k ) β O n ( k ) ,则 p α ( k ) = p β ( k ) = m = i , l = j ,令

γ = ( A 1 A 2 A l K α B 1 B 2 B m b ˜ j b ˜ j 1 b ˜ l k a ˜ i a ˜ i 1 a ˜ 1 ) R n (k)

从而存在 γ O R n ( k ) ,使 α R γ , γ L β ,即 α D β

情形2: p α ( k ) = q β ( k ) ,分四种情形:

子情形1:设 α , β O n ( k ) ,则 p α ( k ) = q β ( k ) = l = j , m = i ,令

γ = ( A 1 A 2 A l K α B 1 B 2 B m b ˜ j b ˜ j 1 b ˜ l k a ˜ i a ˜ i 1 a ˜ 1 ) R n (k)

从而存在 γ O R n ( k ) ,使 α R γ , γ L β ,即 α D β

子情形2:设 α , β R n ( k ) ,则 p α ( k ) = q β ( k ) = m = i , l = j ,令

γ = ( A 1 A 2 A l K α B 1 B 2 B m b ˜ j b ˜ j 1 b ˜ l k a ˜ i a ˜ i 1 a ˜ 1 ) O n (k)

从而存在 γ O R n ( k ) ,使 α R γ , γ L β ,即 α D β

子情形3:设 α O n ( k ) β R n ( k ) ,则 p α ( k ) = q β ( k ) = l = i , m = j ,令

γ = ( A 1 A 2 A l K α B 1 B 2 B m a ˜ 1 a ˜ 2 a ˜ l k b ˜ 1 b ˜ 2 b ˜ j ) R n (k)

从而存在 γ O R n ( k ) ,使 α R γ , γ L β ,即 α D β

子情形4:设 α R n ( k ) β O n ( k ) ,则 p α ( k ) = q β ( k ) = m = j , l = i ,令

γ = ( A 1 A 2 A l K α B 1 B 2 B m a ˜ 1 a ˜ 2 a ˜ l k b ˜ 1 b ˜ 2 b ˜ j ) O n (k)

因此, α R γ L β γ O R n ( k ) ,从而 α D β

文章引用: 孙 艳 (2019) 单调保k变换半群ORn(K)的Green关系。 理论数学, 9, 237-242. doi: 10.12677/PM.2019.92030

参考文献

[1] 陈先军. 保整除变换半群的Green关系及一些组合结果[J]. 贵州师范大学学报(自然科学版), 2010, 28(2): 93-114.

[2] Deng, L.Z., Zeng, J.W. and Xu, B. (2010) Green’s Relations and Regularity for Semigroups of Transformations That Preserve Double Di-rection Equivalence. Semigroup Forum, 80, 416-425.

[3] 龙伟锋, 龙伟芳, 高荣海. TE(X)中局部方向保序变换半群的Green 关系和正则性[J]. 贵州师范大学学报(自然科学版), 2009, 27(2): 79-82.

[4] Howie, J.M. (1995) Fundamentals of Semigroup The-ory. Oxford University Press, Oxford.

分享
Top