具有自中心化正规子群的有限群的Coleman自同构
Coleman Automorphisms of Finite Groups with a Self-Centralizing Normal Subgroup

作者: 刘建霞 , 海进科 :青岛大学数学与统计学院,山东 青岛;

关键词: 完全群几乎单群Coleman自同构Perfect Group Almost Simple Group Coleman Automorphism

摘要:
设G为具有自中心化正规子群N的有限群。在这篇注记中,我们研究了自中心化正规子群N的性质对G的Coleman外自同构群结构的影响,证明了N在某些条件下G的Coleman自同构均为内自同构。这样的Coleman自同构对研究整群环的正规化子问题有着重要的作用。

Abstract: Let G be a finite group with a self-centered normal subgroup N. In this note, we studied the effects of the properties of the self-centered normal subgroup N on the structure of the Coleman outer automorphism group of G and proved that all Coleman automorphisms of G are inner when N is under some conditions. Such Coleman automorphisms play an important role in the research of normalizer problem for integral group rings.

1. 引言

G 为有限群, σ G 的一个自同构,如果 σ G 的任意一个 S y l o w 子群上的限制等于 G 的某个内自同构在其上的限制,则称 σ G 的一个Coleman自同构。 G 的所有的Coleman自同构组成了 A u t ( G ) 的一个子群,记为 A u t C o l ( G ) 。显然 I n n ( G ) A u t C o l ( G ) ,称商群 A u t C o l ( G ) / I n n ( G ) G 的Coleman外自同构群,记为 O u t C o l ( G ) 。在文献 [1] 中,Hertweck和Kimmerle证明了 O u t C o l ( G ) 是交换群,给出了 O u t C o l ( G ) p -群的一些充分条件。在文献 [2] 中,海进科等研究了因子群的性质对有限群 G 的Coleman外自同构群的影响,也给出了 O u t C o l ( G ) p -群的一些充分条件。在文献 [3] 中,李正兴等证明了具有唯一非平凡正规子群的有限群 G 的Coleman自同构为内自同构。Antwerpen在文献 [4] 中研究了具有自中心化特征单的正规子群的有限群的Coleman自同构,证明了这样的群的Coleman自同构也为内自同构。在文献 [5] 中,赵文英等人也研究了具有自中心化正规子群的有限群的Coleman自同构,并给出了 O u t C o l ( G ) = 1 的一些充分条件。其它有关Coleman自同构方面的结果可参见文献 [6] [7] 。

G 是一个有限群,我们用 Z G 表示 G 在整群环 Z 上的整群环,用 U ( Z G ) 表示 Z G 的单位群,用 N U ( Z G ) ( G ) 表示 G 在单位群 U ( Z G ) 中的正规化子。对任意 u N U ( Z G ) ( G ) ,用 φ u 表示由 u 通过共轭诱导的 G 的自同构,记 A u t Z ( G ) = { φ u | u N U ( Z G ) ( G ) } ,令 O u t Z ( G ) = A u t Z ( G ) / I n n ( G ) 。由文献 [8] 中的问题43知, G 具有正规化子性质当且仅当 O u t Z ( G ) = 1 。由著名的Coleman引理知 O u t Z ( G ) O u t C o l ( G ) ,所以只要能够证明 O u t C o l ( G ) = 1 ,那么 G 具有正规化子性质,这促使人们去研究什么样的有限群 G 满足 O u t C o l ( G ) = 1

G 为完全群,如果 Z ( G ) = 1 A u t ( G ) = I n n ( G ) 。称 H 为几乎单群,如果存在非交换单群 G ,使得 G H A u t ( G ) 。称 G 为有限群 S 和有限群 H 的圈积,如果 G S | H | H 的半直积,其中 S | H | = S × × S | H | S 的直积,记为 G = S w r H 。本文我们继续研究自中心化正规子群 N 的性质对 G 的Coleman外自同构群结构的影响,证明了下面主要结果:

定理1.1:设 N 为有限群 G 自中心化的正规的子群。如果 N 是完全群,则 G 的Coleman自同构均为内自同构,即 O u t C o l ( G ) = 1

定理1.2:设 N 为有限群 G 的自中心化的正规子群。如果 N 是几乎单群,则 G 的Coleman自同构均为内自同构,即 O u t C o l ( G ) = 1

定理1.3:设 G = S w r H S H 的圈积,其中 S 为有限单群, H n 阶有限群,则 G 的Coleman自同构均为内自同构,即 O u t C o l ( G ) = 1

本文所讨论的群均为有限群。设 N G σ A u t ( G ) ,用 σ | N 表示 σ N 上的限制。若 N _ G N σ = N ,则用 σ | G / N 表示 σ 所诱导的 G / N 的自同构。设 g G ,用 c o n j ( g ) 表示由 g 通过共轭诱导的 G 的内自同构。记 π ( G ) = { p | p | | G | } ,其中 p 为素数。本文使用的概念与术语是标准的,参见文献 [8] [9] 。

2. 定理的证明

定义2.1 [1] :设 σ A u t ( G ) p π ( G ) 。如果存在 P S y l p ( G ) ,使得 σ | P = i d | P ,则称 σ G 上的 p -中心自同构。

引理2.1 [1] :设 G 为单群,则存在一个素数 q π ( G ) ,使得 G q -中心自同构为内自同构。

引理2.2 [1] :设 G 为几乎单群,则存在一个素数 q π ( G ) ,使得 G q -中心自同构为内自同构。

引理2.3 [4] :设 G 为有限群, p π ( G ) σ G 上的一个 p -方幂阶自同构。如果存在 N _ G ,使得 σ | N = i d | N σ | G / N = i d | G / N ,并且存在 G 的一个 S y l o w p -子群 P ,满足 σ | P = i d | P ,则 σ I n n ( G )

引理2.4 [2] :设 N 为有限群 G 的正规子群。如果 σ A u t C o l ( G ) ,则 σ | N A u t ( N )

引理2.5 [9] :设 H G H G 中的正规闭包是指 G 中所有包含 H 的正规子群的交,记为 H G ,即 H G = { K _ G | H K } ,则

1) G 中包含的唯一最小正规子群;

2) H G = h g | h H , g G

引理2.6 [9] :设 G 为有限群 S 和有限群 H 的圈积,则 G S | H | H 的半直积且 C G ( S | H | ) Z ( S | H | ) ,其中 Z ( S | H | ) 表示群 S | H | 的中心。

引理2.7:设 G 是有限群, σ G p -方幂阶自同构, g G ,并记 σ 1 = σ c o n j ( g ) 。令 o ( σ 1 ) = p j m ,其中 j , m 为非负整数,且 ( p , m ) = 1 。如果 σ 1 m I n n ( G ) ,则 σ I n n ( G )

证明:因为 σ p -方幂阶的Coleman自同构,所以可设 o ( σ ) = p i ,其中 i 为非负整数。由题意可知 ( p i , m ) = 1 ,从而存在整数 s , t ,使得 s p i + t m = 1 。由于 I n n ( G ) _ A u t ( G ) ,所以

σ 1 t m = ( σ c o n j ( h 1 ) ) t m ( σ I n n ( G ) ) t m = σ t m I n n ( G )

因此可令 σ 1 t m = σ t m c o n j ( y ) = σ 1 s p i c o n j ( y ) = σ c o n j ( y ) ,显然 σ 1 t m I n n ( G ) ,故 σ I n n ( G )

定理1.1的证明:设 σ G 的Coleman自同构。因为 N _ G ,由引理4知 σ | N A u t ( N ) 。因为 N 为完全群,所以 σ | N I n n ( N ) ,即存在 n N ,使得 σ | N = c o n j ( n ) | N 。记 β = σ c o n j ( n 1 ) ,则 β | N = i d | N 。由于 N _ G ,所以对任意的 ,有

x 1 n x = ( x 1 n x ) β = ( x 1 ) β n β x β = ( x 1 ) β n x β

因此 x β x 1 C G ( N ) N 。又因为 Z ( N ) = 1 ,所以 x β x 1 = 1 。由 x 的任意性可知 β = i d ,注意到 β = σ c o n j ( n 1 ) ,故 σ I n n ( G )

定理1.2的证明:设 σ G 的Coleman自同构, Q N S y l o w q -子群。由 S y l o w 定理知,存在 G S y l o w q -子群 P ,使得 Q P

由于 σ A u t C o l ( G ) ,则存在 h G ,使得 σ | P = c o n j ( h ) | P 。记 ρ 1 = σ c o n j ( h 1 ) ,则 ρ 1 | P = i d | P 。因为 Q P ,所以 ρ 1 | Q = i d | Q 。注意到且 ρ 1 A u t C o l ( G ) ,由引理4知, ρ 1 | N A u t ( N ) 。因此 ρ 1 N q -中心自同构。

因为 N 为几乎单群,由引理2知, ρ 1 | N I n n ( N ) ,即存在 g N ,使得 ρ 1 | N = c o n j ( g ) | N 。记 ρ 2 = ρ 1 c o n j ( g 1 ) ,则 ρ 2 | N = i d | N 。由于 N _ G ,则对任意的 x G , n N ,有

x 1 n x = ( x 1 n x ) ρ 2 = ( x 1 ) ρ 2 n ρ 2 x ρ 2 = ( x 1 ) ρ 2 n x ρ 2

因此 x ρ 2 x 1 C G ( N ) N 。又因为 Z ( N ) = 1 ,所以 x ρ 2 x 1 = 1 。由 x 的任意性可知 ρ 2 = i d ,注意到 ρ 2 = ρ 1 c o n j ( g 1 ) = σ c o n j ( h 1 ) c o n j ( g 1 ) ,故 σ I n n ( G )

定理1.3的证明:设 σ G p -方幂阶Coleman自同构,我们只需证 σ I n n ( G )

因为 G = S w r H ,并且 H n 阶有限群,所以 G = ( S n ) H ,其中 S n = S × × S n S 的直积。

Q S S y l o w q -子群,则 Q n S n S y l o w q -子群。由 S y l o w 定理知,存在 G S y l o w q -子群 P ,使得 Q n = Q × × Q P

由于 σ A u t C o l ( G ) ,则存在 h G ,使得 σ | P = c o n j ( h ) | P 。记 ρ 1 = σ c o n j ( h 1 ) ,则 ρ 1 | P = i d | P 。令 k 表示 o ( ρ 1 ) p 部分,记 ρ 2 = ρ 1 k ,则 ρ 2 p -方幂阶的Coleman自同构且 ρ 2 | P = i d | P 。由于 Q n = Q × × Q P ,所以 ρ 2 | Q = i d | Q

先证 ρ 2 S q -中心自同构,即证 ρ 2 | S A u t ( S ) 。此处记 S n = S 1 × S 2 × × S n ,其中 S 1 = S 2 = = S n = S ,相应的 Q n = Q 1 × Q 2 × × Q n ,其中 Q 1 = Q 2 = = Q n = Q 。因为 Q j S j S j 为单群,其中 j = 1 , 2 , , n ,由引理5知, S j = Q j S = g h | g Q j , h S j ,即对任意的 z S j ,可设 z = g h ,其中 g Q j h S j j = 1 , 2 , , n ,从而

z ρ 2 = ( h 1 g h ) ρ 2 = ( h 1 ) ρ 2 g ρ 2 h ρ 2 = ( h 1 ) ρ 2 g h ρ 2

又因为 S n _ G ,由引理4知, ρ 2 | S n A u t ( S n ) ,所以 h ρ 2 S n = S 1 × S 2 × × S n 。因此不妨设 h ρ 2 = x 1 x 2 x n ,其中 x j S j j = 1 , 2 , , n ,所以

z ρ 2 = ( h 1 ) ρ 2 g h ρ 2 = x n 1 · · · x 2 1 x 1 1 g x 1 x 2 x n S j

ρ 2 | S j A u t ( S j ) 。这就证明了 ρ 2 | S A u t ( S ) ,因此 ρ 2 S q -中心自同构。

由于 S 为单群,由引理1知, ρ 2 | S I n n ( S ) ,即存在 g S ,使得 ρ 2 | S = c o n j ( g ) | S 。又因为 I n n ( S n ) = I n n ( S ) × I n n ( S ) × × I n n ( S ) ,所以存在 m S n ,使得 ρ 2 | S n = c o n j ( m ) | S n

下分两种情形进行讨论:

情形1:如果 S 为非交换单群,记 ρ 3 = ρ 2 c o n j ( m 1 ) ,则 ρ 3 | S n = i d | S n 。因为 S n _ G ,所以对任意的 x G , y S n ,有 x 1 y x = ( x 1 y x ) ρ 3 = ( x 1 ) ρ 3 y ρ 3 x ρ 3 = ( x 1 ) ρ 3 y x ρ 3 ,因此 x ρ 3 x 1 C G ( S n ) 。由引理6知, C G ( S n ) Z ( S n ) S n ,又因为 Z ( S n ) = 1 ,所以 x ρ 3 x 1 = 1 。由 x 的任意性可知 ρ 3 = i d ,由于 ρ 3 = ρ 2 c o n j ( m 1 ) ,所以 ρ 2 I n n ( G ) 。注意到 ρ 2 = ρ 1 k = ( σ c o n j ( h 1 ) ) k ,由引理7可知, σ c o n j ( h 1 ) I n n ( G ) ,故 σ I n n ( G )

情形2:如果 S 为交换单群,那么 S = C q ,其中 C q q 阶循环群。因为 S S n 都为交换群,且 ρ 2 | S n I n n ( S n ) ,所以 ρ 2 | S n = i d | S n 。由于 S n _ G ,则对任意的 x G y S n ,有

x 1 y x = ( x 1 y x ) ρ 2 = ( x 1 ) ρ 2 y ρ 2 x ρ 2 = ( x 1 ) ρ 2 y x ρ 2

从而 x ρ 2 x 1 C G ( S n ) 。而由引理6知, C G ( S n ) Z ( S n ) S n 。因此任取 l S n G / S n ,都有 ( l S n ) ρ 2 = l ρ 2 S n = l S n ,即 ρ 2 | G / S n = i d | G / S n

对于这种情形,我们又可以将其分为两种情况:

① 如果 q = p ,则 ρ 2 | P = i d | P 。又 ρ 2 | S n = i d | S n ρ 2 | G / S n = i d | G / S n ρ 2 ρ 2 = ρ 1 k = ( σ c o n j ( h 1 ) ) k p -方幂阶的Coleman自同构,由引理3知, ρ 2 I n n ( G ) 。因为,由引理7可知, σ c o n j ( h 1 ) I n n ( G ) ,故 σ I n n ( G )

② 如果 q p ,则对任意 u G ,存在 v S n ,使得 u ρ 2 = u v 。因为 ρ 2 p -方幂阶的,所以可设 o ( ρ 2 ) = p r ,其中 r 为非负整数,那么 u = u ρ 2 p r = u v p r ,因此 v p r = 1 ,而 S n q -群,所以 v = 1 。由 u 的任意性可知 ρ 2 = i d 。又因为 ρ 2 = ρ 1 k = ( σ c o n j ( h 1 ) ) k ,由引理7可知, σ c o n j ( h 1 ) I n n ( G ) ,故 σ I n n ( G )

基金项目

国家自然科学基金(11871292)。

NOTES

*通讯作者。

文章引用: 刘建霞 , 海进科 (2019) 具有自中心化正规子群的有限群的Coleman自同构。 理论数学, 9, 142-146. doi: 10.12677/PM.2019.92018

参考文献

[1] Hertweck, M. and Kimmerle, W. (2002) Coleman Automorphisms of Finite Groups. Mathematische Zeitschrift, 242, 203-215.
https://doi.org/10.1007/s002090100318

[2] Hai, J.K. and Li, Z.X. (2014) On Coleman Outer Automorphism Groups of Finite Groups. Acta Mathematica Scientia, 34, 790-796.
https://doi.org/10.1016/S0252-9602(14)60049-7

[3] Li, Z.X., Hai, J.K. and Yang, S.X. (2014) Coleman Automorphisms of Finite Groups with a Unique Nontrivial Normal Subgroup. Journal of Mathematical Research with Applications, 34, 301-306.

[4] Antwerpen, A.V. (2018) Coleman Automorphisms of Finite Groups and Their Minimal Normal Subgroups. Journal of Pure and Applied Algebra, 222, 3379-3394.
https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2017.12.013

[5] 赵文英, 海进科. 关于有限内幂零群和Frobenius群的Coleman自同构[J]. 山东大学学报(理学版), 2017, 52(10): 4-6.

[6] Hai, J.K. and Zhu, Y.X. (2018)On Coleman Automorphisms of Extensions of Finite Quasinilpotent Groups by Some Groups. Algebra Colloquium, 25, 181-188.
https://doi.org/10.1142/S1005386718000123

[7] Hai, J.K., Ge S.B. and He, W.P. (2017) The Nor-malizer Property for Integral Group Rings of Holomorphs of Finite Nilpotent Groups and the Symmetric Groups. Journal of Algebra and Its Applications, 16, 39-44.
https://doi.org/10.1142/S0219498817500256

[8] Sehgal, S.K. (1993)Units in Integral Group Rings. Longman Scientific and Technical Press, Harlow.

[9] Rose, J.S. (1978) A Course on Group Theory. Cambridge University Press, Cambridge.

分享
Top