﻿ 框架理论在图像和信号处理中的应用综述

# 框架理论在图像和信号处理中的应用综述Review on the Application of Frame Theory in Image and Signal Processing

Abstract: Wavelet analysis is a breakthrough in the history of Fourier development. Its basic theory involves digital signal processing, functional analysis, Fourier transform and other aspects. Frame theory is an important content of wavelet analysis. With the rapid development of wavelet analysis, frame theory has gradually become a heated topic. This paper classifies and summarizes the literature on the application of frame theory in signal and image processing in recent years, summarizes the concept of frame, basic properties, frame boundary, calculation and application of dual frame, and finally makes a summary.

1. 引言

1.1. 框架与Bessel序列的关系

$\underset{j\subseteq z}{\sum }{|〈f,{\phi }_{j}〉|}^{2}\le B{‖f‖}_{H}^{2}$ (1)

${\left\{{\phi }_{i}\right\}}_{j\in z}\subseteq H$$\exists B,A\subseteq Z$$\forall f\subseteq H$ 都有

$A{‖f‖}_{H}^{2}\le \underset{j\subseteq z}{\sum }{|〈f,{\phi }_{j}〉|}^{2}\le B{‖f‖}_{H}^{2}$ (2)

1.2. 框架与基的关系

${\left\{{f}_{j}\right\}}_{j\in z}$ 是Hilbert空间的一组列元素， $\exists {\left\{{c}_{j}\right\}}_{j\in z}\in {l}^{2}\left(Z\right)$ ，且 ${\left\{{c}_{j}\right\}}_{j\in z}$ 唯一，使得

$f=\underset{j\in z}{\sum }{c}_{j}{f}_{j},\forall f\in H$ (3)

${\left\{{f}_{j}\right\}}_{j\in z}$ 是H的一组基，若 $‖{f}_{j}‖=1$ ，且

$\left\{\begin{array}{l}〈{f}_{i},{f}_{k}〉=1,i=k\\ 〈{f}_{i},{f}_{k}〉=0,i\ne k\end{array}$ (4)

${\left\{{f}_{j}\right\}}_{j\in z}$ 是H的一组正规正交基。

$A=B=1$ 时，即 $\forall j\subset Z,\exists ‖{\phi }_{j}‖=1$${\left\{{\phi }_{i}\right\}}_{j\in z}$ 构成了一组规范正交基。

$A=B>0$$\forall j\subset Z,\exists ‖{\phi }_{j}‖=\sqrt{A}$${\left\{\frac{{\phi }_{j}}{\sqrt{A}}\right\}}_{j\in z}$ 构成一组规范正交基。

1.3. 框架的冗余性

${\left\{{\phi }_{j}\right\}}_{j\in z}$ 是H中的一个框架，则 ${\left\{{\phi }_{j}\right\}}_{j\in z}$ 是冗余框架的充要条件是：存在 ${k}_{0}\in Z$ ，使得 ${\phi }_{{k}_{0}}=\underset{j\in Z,j\ne {k}_{0}}{\sum }{\lambda }_{j}{\phi }_{j}$ ，其中 ${\lambda }_{j}\in C$ 。而重构信号 $f\approx \underset{j\in Z}{\sum }{\stackrel{˜}{\phi }}_{j}$${\stackrel{˜}{\phi }}_{j}$${\phi }_{j}$ 的对偶框架。

1.4. 对偶框架

$Sf=\frac{2}{A+B}\underset{j\in z}{\sum }〈f,{\phi }_{j}〉{\phi }_{j}$ (5)

${\left\{{\phi }_{j}\right\}}_{j\in z}\in F$ 且以A，B为界，将算子 ${S}^{-1}={\left({U}^{*}U\right)}^{-1}$ 作用于 ${\left\{{\phi }_{j}\right\}}_{j\in z}$ ，称 ${\left\{{S}^{-1}{\phi }_{j}\right\}}_{j\in z}$${\left\{{\phi }_{j}\right\}}_{j\in z}$ 的典则对偶框架 [1] 。

${\left\{{f}_{j}\right\}}_{j\in z}$${\left\{{g}_{j}\right\}}_{j\in z}$ 是H的两个框架，若 $\forall f\in H$ ，都有 $f=\underset{j\in z}{\sum }〈f,{f}_{j}〉{g}_{j}$ ，则也必有 $f=\underset{j\in z}{\sum }〈f,{g}_{j}〉{f}_{j}$$\forall f\in H$

2. 框架在图像处理中的应用

2.1. 图像去噪

2006年Lixin Shen、Manos Papadakis等人提出了一种构造提升框架的方法，即通过对原有的滤波器进行修改，构造了新结构的Parseval框架滤波器，应用数学理论从分段线性样条紧框架的张量乘积中设计出不可分离的Parseval框架。新构成的框架系统包含了加权平均算子、Sobel算子和相位为 $k45˚,k\in z$ 的Laplacian算子。基于新的Parseval框架的系统特性，提出了一种新的图像去噪算法。并通过实验演示了新算法在一组不同的图像上的性能，实验证明，基于Parseval框架上的图像去噪方法去噪效果更好，相比与一般去噪方法，具有较少的振铃伪影和更好的PSNR [3] 。

2017年高涛，何秀丽提出了一种基于小波紧框架的彩色图像泊松去噪模型。该模型实质上是由保真项和正则项构成的最小凸问题。泊松噪声基于泊松噪声的概率密度函数特征，将赋权的二范数项作为保真项，在正则项中引入小波紧框架，从而获得更好的图像边缘细节处理效果。针对泊松去噪模型的重新赋权问题，又提出split Bregman算法，并通过实验表明，使用split Bregman算法在彩色图像去噪方面的具有一定的实用性 [4] 。

2.2. 图像恢复

2008年Jing Fang Cai提到图像通常在由过采样离散余弦或傅里叶变换导出的紧框架系统中具有稀疏近似性。并根据这种稀疏近似性提出了一种紧框架域的图像去模糊方法，其实质上是系数为矩阵形式的线性方程组的稀疏解。数值算例表明，该方法实现简单，对噪声有较强的鲁棒性，对图像有着较好的去模糊效果 [5] 。

2010年Javier Portilla提出了一种基于 ${l}_{0}$ -analysis的稀疏性反褶积方法，对模型参数具有较强的鲁棒性，并将其转化成了一个用于图像处理的有效算法。目前基于稀疏优化的反褶积方法中大多数采用 ${l}_{1}$ -SBS方法，只有少数是 ${l}_{0}$ -SBS，而ABS方法更是多被用于其他图像处理任务如：修复、超分辨率或图像形态分解，从未应用于图像反褶积。但是在一般框架表示的情况下 ${l}_{0}$ -ABS方法却表明了分析系数具有可压缩性。因此将分析系数建模为一个严格的稀疏向量加上一个高斯修正项，在处理含噪图像时，图像密度并没有发生退化，同时提出了一种 ${l}_{0}$ -SbS方法，实验表明该方法的图像处理性能十分优越 [6] 。

2011年Jian Feng Cai分析了一类基于框架的随机样本数据恢复方法的误差，并且估计了底层原始数据与近似解之间的误差。从部分样本中恢复缺失数据不仅是一个基本的数学问题，同时也在图像和信号处理中有着广泛的应用。近年来发展了许多研究数据恢复的算法，但很少有关于估计它们的误差方法。提出的误差估计方法实现了根据噪声水平对给定的数据进行插值(或与误差界近似)，一般来说，给定的数据都具有规范框架系数的最小 ${l}_{1}$ 范数 [7] 。

2012年Nelly Pustelnik、Jean Christophe Pesquet等人提出一种求解涉及框架表示的图像反褶积问题的凸向优化方法。针对目前大多数基于框架的变分方法都具有Lipschitz可微性或紧表示性的此种情况，使用一种特定类别的框架来松弛紧框架，放宽条件，有利于广泛的图像恢复问题的解决。提出的算法可以同时解决不同噪声分布下的框架分析和框架综合问题，并应用(非紧)离散对偶树小波表示对泊松噪声破坏的数据进行恢复，证实了此算法的有效性 [8] 。

2014年Jian Feng Cai提出了一种迭代数值格式来构造适合于给定图像的离散紧框架的方法。与现有的大多数方法不同，在每一次迭代过程中，构建的字典始终是一个严密的框架。因此，所提出的方法计算效率很高。此外，所构造的紧框架比过完备的字典更适用于许多图像处理的应用，其重建效果较好。在此基础上，推导出的自适应紧框架去噪方法与传统的小波阈值法相比，具有明显的优越性。之后，还将进一步研究如何利用其他因素，如模糊化等，来构造自适应紧框架 [9] 。

2015年Jin Wang在文中提出了一种从输入多通道图像构造数据驱动紧框架的方法，为每个信道构造了一个离散的紧框架系统，并假定它们的稀疏系数具有联合稀疏性。将多通道数据驱动的紧框架构造方案应用于彩色和深度图像的联合重建。实验结果表明，该方法比目前最先进的彩色和深度图像重建方法具有更好的性能 [10] 。

2017年杜淋，王聪在基于数据驱动紧框架的图像恢复提出了一种基于数据驱动紧框架的变分模型，用于含有高斯脉冲混合噪声的图像恢复。该模型由包含 ${l}_{1}-{l}_{2}$ 范数的拟合项和包含 ${l}_{1}$ 范数的光滑项构成，并使用了增广拉格朗日法–加速近端梯度ALM-APG算法用于解该模型。实验所表明文中所提出的模型与算法能够有效地进行图像恢复并且具有一定的实用性 [11] 。

2018年Wen Liang Hwang、Ping Tzan Huang等人探究了一种对偶框架的设计，其中通过信号分解得到的稀疏向量也是使用了重构框架的信号的稀疏解。尽管最终的研究结果表明，对于过完全的框架来说，这种对偶框架并不存在，但用典则对偶框架的分析系数可以得到稀疏合成解的最佳逼近。之后又利用了从框架的角度分析和综合信号表示的观点，针对与图像恢复有关的问题提出了优化公式，然后对使用不同的框架边界的解的性能进行比较。结果显示了恢复图像与字典的框架界之间的相关性，从而说明了在不同的应用中使用不同字典的重要性 [12] 。

2018年Dongmei Ma等人提出了一种基于数据驱动紧框架的变分模型，在高斯噪声和脉冲噪声混合的情况下，从观测图像中恢复原始图像。先将数据驱动的紧框架作为微分算子嵌入变分模型中。其次，采用增广拉格朗日法–加速近端梯度(ALM-APG)算法得到了变分模型的精确解。结果表明ALM-APG算法具有计算复杂度低、收敛速度快等优点。基于数据驱动紧帧的变分模型能够有效地去除图像中的混合高斯噪声和脉冲噪声，比其他图像恢复模型具有更好的图像恢复效果，PSNR提高了至少10%，且算法的峰值信噪比值也较高 [13] 。

2018年董卫东、彭宏京提出了一种基于紧框架域的全广义变分图像修复模型，这种模型与传统的小波修复相比，其紧凑的框架系统具有冗余性、时移不变性和线性相位等优点，非常适用于图像处理。新模型通过引入了多级紧框架分解系数的低阶和高阶导数，获取图像不同尺度多方向上的特征信息来对图像进行约束。模型的数值实现采用了分裂技术和原始对偶算法(PDSBA)相结合的优化算法，通过交替迭代解决了两个简单子问题。新模型不仅可以减少阶梯效应，产生图像边缘，而且可以恢复细节和纹理信息丰富的图像。实验结果表明，新模型的峰值信噪比(PSNR)、均方误差(MAE)和结构相似性指数(SSIM)的三项恢复性能均有显著改善 [14] 。

3. 框架在信号重构中的应用

3.1. 压缩感知

2006年D. L. Donoho提出了压缩感知的概念。假设信号在某个变换域是稀疏的，那么仅需对信号进行少量采样，即可通过求解一个优化问题而高概率重建原始信号 [17] 。信号重构是压缩感知理论的核心问题之一，贪婪算法是压缩感知信号处理中的重要工具之一。

2012年Yulong Liu等人分析了在较弱的恢复条件下 ${l}_{1}$ -analysis这种重构方法的性能。同时将 ${l}_{1}$ -analysis分析方法推广到更为一般的情形，即将任意的矩阵对偶框架作为分析算子，称为基于 ${l}_{1}$ -analysis的一般对偶框架。还提出了一种迭代算法，适当选择参数，便具有计算速度快，易于编码的特点，用于求解基于 ${l}_{1}$ -analysis的最优对偶框架。实验表明在信号稀疏的情况下，基于 ${l}_{1}$ -analysis的最优对偶框架比一般对偶框架具有更好恢复信号的性能 [18] 。

2012年Wei Chen等人用规范紧框架来改善压缩感知应用中平均均方误差的性能。通过仿真结果表明，在基于BPDN、Dantzig选择器和OMP的稀疏恢复的情况下，以规范紧框架为基础的感知矩阵的MSE优于其他标准的感知矩阵设计的MSE。从优化的方面看，在压缩感知应用中使用规范紧框架改善了其最小均方误差的性能，当规范紧框架与标准稀疏恢复算法结合使用时，MCE将会得到显著改善 [19] 。

2013年Xiaoya Zhang、Song Li分析了在基于 ${l}_{1}$ -analysis模型上建立的对偶框架对于信号重构的作用。并通过对傅里叶的一些引理的推广，以及借助了对偶框架的参数化表示，验证得出了具有最优观测值的weibull随机矩阵，这种矩阵可以确保高概率信号的准确恢复，但其所有的验证结果都是在一般框架下，信号都具有可压缩性的这种情况下进行讨论 [20] 。

2014年杨家红，刘元元等人针对之前采用的贪婪算法计算复杂度高，重建精度低这个问题，提出了一种新的融合框架，并在此融合框架下将OMP算法和CoSaMP算法进行融合，进而提出了一种新的算法，称之为FMP算法。在实验中分别采用FMP、OMP及CoSaMP算法对图像进行处理，并从可视化结果、信噪比和误差率三个角度来对比三种算法对图像的处理效果。最终证明，在融合框架下的FMP算法的在仿真过程中的峰值信噪比最高，误差最低，重构效果最好。在采样率低的时候，基于此融合框架FMP算法处理效果比较好，但在采样率比较高时，FMP算法的优势并不明显 [15] 。

2013年Waheed U. Bajwa，Ali Pezeshk提出有限框架在信号稀疏表示和压缩感知方法的设计和分析中起着核心作用。并在压缩感知情况下，从估计、恢复、检测支持、回归和稀疏信号检测这几个方面强调了有限框架的重要性。并提出具有小谱范数和、较小的最坏情况相干性、平均相干、和相干的框架是非常适合于稀疏信号的测量 [16] 。

2016年Yunsong Liu、Zhifang Zhan等人提出了一种投影迭代软阈值算法，并产生一种加速该算法的pFISTA方法，解决了压缩传感磁共振成像中的稀疏图像重建问题。实验的数值结果表明，对综合稀疏模型，pFISTA方法相比于pISTA实现了更好的信号重构。对近似分析稀疏模型，pFISA收敛速度更快或可与最先进的SFISTA相媲美。pFISTA的重建误差对附加的算法参数不敏感，使得其在MRI图像重建中可以广泛使用不同的紧框架。之后还会进一步分析一般框架下pFISTA的收敛性，并且还应该在尽可能多的CS-MRI应用中测试其他稀疏表示系统 [21] 。

3.2. 信号重构

2013年Markus Haltmeier提到可以基于 ${l}_{1}$ -analysis最小化方法来实现在合适框架或者字典下的无噪信号分析系数的稀疏性。但是基于 ${l}_{1}$ -analysis最小化的处理方法，信号稳定恢复的条件是所用到的框架是一个正交的基。但这恰恰与实际相互不符，因为在实际应用中，冗余框架的性能通常比正交基强。针对上述存在的问题，又提出以非紧框架为基础的 ${l}_{1}$ -analysis最小化方法，通过实验证明，其信号恢复结果较为稳定 [23] 。

2016年Qianping Guo、Jingsong Leng等人采用最优对偶框架来处理信号，当框架系数在传输的过程中发生丢失时，可以减少信号重建过程中产生的误差。同时也提出了一种基于MOD算法可以自适应地搜索最优对偶框架的算法，以及当框架系数发生丢失时重构信号的方法。通过实验表明，新提出的方法比现有的随机信号处理方法具有更好的性能 [24] 。

2017年Souhir Bousselmi、Kais Ouni主要研究了紧框架包变换TFPT在失真意义下的语音信号重建稳定性，并且与经典小波变换对信号的重建稳定作比较。将从TIMIT语音库中提取到的语音信号，在8 kHz频率下进行二次采样，并将其划分为256个样本块进行仿真传输，分别采用经典小波变换以及紧框架包变换在其失真的情况下进行信号重建，并同时采用归一化均方根误差、峰值信噪比、分段信噪比、频率加权分段信噪比对信号的失真进行评估。实验结果表明，新型紧框架包变换比小波包变换具有更好的重构稳定性，而且这种新的紧框架包变换非常适用于低比特的语音编码 [25] 。

4. 框架在语音编码中的应用

2011年Souhir Bousselmi、Kais Ouni等人主要讨论了小波紧框架在语音编码中的应用以及其性能的评估。并从归一化均方根误差NRMSE，频率加权分段信号与噪声的比率，分段信号与噪声的比率，峰值信号与噪声的比率这几个方面进行性能评估。最终通过实验结果证明，在语音编码中使用小波紧框架显著地提升了信号编码的质量 [26] 。

5. 框架在医学和通信中的应用

2011年XiaoHao Cai提出将紧框架方法应用于医学成像中的管状结构的自动识别，并初步应用于磁共振血管成像的血管分割，提出的方法迭代地细化了一个覆盖了容器的潜在边界的区域。在每一次迭代中，采用紧框架算法对势边界进行去噪和平滑，并对区域进行锐化。该方法每次迭代的成本与图像中的像素数成正比，并证明了迭代在有限的步骤内收敛到一幅二值图像。因此可以直接对血管进行分割，对合成和真实二维/三维图像的数值表明，与一些有代表性的分割方法相比，基于紧框架的方法具有更高的分割精度 [27] 。

2018年A. Thompson构造了一种极稀疏的、近等角的紧框架，稀疏近等角框架应用于自组织无线网络中的全双工通信。实验表明它们优于同样数量的专栏和稀疏的Steiner ETF，即它们相关联的矩阵向量积可以作为快速变换来实现 [28] 。

6. 结论

NOTES

*通讯作者。

[1] 郭晓璇. 框架及其在信号处理中的应用[D]: [硕士学位论文]. 西安: 陕西师范大学, 2007.

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