关于未定元的注记
A Note on the Indeterminate

作者: 陈 意 , 陈晓友 :河南工业大学,理学院,河南 郑州;

关键词: 未定元整环商域多项式环Indeterminate Integral Domain Field of Fractions Polynomial Ring

摘要:
设D是一个整环,Q是其商域,本文证明了x是D上的未定元,当且仅当x是Q上的未定元。

Abstract: Let D be an integral domain and Q be its field of fractions. It is proved in this note that x is an inde-terminate over D if and only if so is x over Q.

1. 引言

本文所使用的符号和术语都是标准的,可参考 [1] [2] 与 [3] [4] 。

假定 R 0 是一个具有单位元的交换环, R R 0 的子环并且包含 R 0 的单位元。设 α R 0 ,一个可以写成

a 0 + a 1 α + + a n α n ( a i R , i = 0 , 1 , 2 , , n )

形式的的元称作 R 上的 α 的多项式,其中 a i 称为多项式的系数。

R 0 的一个元 x 称作 R 上的一个未定元,如果在 R 里找不到不全为零的元 a 0 , a 1 , , a n 使得

a 0 + a 1 x + + a n x n = 0

b 0 + b 1 x + + b n x n 是环 R 上一个一元多项式,则非负整数 n 称为这个多项式的次数。特别地,多项式0没有次数。

值得注意的是, R 0 中未必存在 R 上的未定元。例如,有理数集合中就不存在整数集合上的未定元。不过,却有如下的结论:

给定具有单位元的交换环 R ,必存在 R 上的未定元,而也就有上的多项式环 R [ x ] 存在。

在本文中,关于未定元的刻画,我们有下面的结论。

命题1:设D是一个整环,Q是D的一个商域,则 x 是D上的一个未定元,当且仅当 x 是Q上的未定元。

2. 证明

为命题的证明,我们需要下面的几个引理,其中引理1与引理3分别是[3,第三章第十节定理1]和[3,第三章第十节定理3]。

引理1:无零因子的交换环 R 必是一个域 F 的子环,其中 F 刚好是由所有元

a b ( a , b R , b 0 )

所做成的,其中

a b = a b 1 = b 1 a

引理2:若 R 是一个整环,则 R 上的一元多项式环 R [ x ] 也是一个整环。

证明:注意到, R [ x ] 是一个有单位元的交换环。要证 R [ x ] 是一个整环,只需证明 R [ x ] 是没有零因子。

f ( x ) , g ( x ) R [ x ] , f ( x ) 0 , g ( x ) 0 ,那么 f ( x ) g ( x ) 可写成

f ( x ) = a 0 + a 1 x + + a m x m ( a i R , i = 1 , 2 , , m )

g ( x ) = b 0 + b 1 x + + b n x n ( b j R , j = 1 , 2 , , n )

的形式,这里 a m 0 , b n 0 。于是

f ( x ) g ( x ) = c 0 + c 1 x + + c m + n x m + n ( c k R , k = 1 , 2 , , m + n )

a m , b n R ,而 R 无零因子,所以 c m + n = a m b n 0 ,从而 f ( x ) g ( x ) 0 。因此, R [ x ] 无零因子。

引理3:若 R 是一个至少含两个元素的环, F 是一个包含 R 的域,则 F 包含 R 的一个商域。

命题的证明:若 x 为Q上的一个未定元,则由D Q可知 x 也是D上的未定元。

x 为D上的未定元,由Q是D的商域可知 x Q ,下证 x 也是Q上的未定元。因 x 为D上的未定元,所以存在一元多项式环 D [ x ] 。由引理2,可知 D [ x ] 也为整环。从而,存在域F使得 D [ x ] 成为F的子环。注意到,D F。由引理3,Q F。

在F中考虑运算,假设有Q中不全为零的元 c 0 b 0 , c 1 b 1 , , c n b n ,其中 c 0 , c 1 , , c n D 不全为零, b 0 , b 1 , , b n D 均不为零,使得

c 0 b 0 + c 1 b 1 x + + c n b n x n = 0

于是,

1 b 0 b 1 b n ( c 0 b 1 b n + c 1 b 0 b 2 b n x + + c n b 0 b 1 b n 1 x n ) = 0

c 0 b 1 b n + c 1 b 0 b 2 b n x + + c n b 0 b 1 b n 1 x n = 0

由于 x 为D上的未定元,所以,

c 0 b 1 b n = 0 , c 1 b 0 b 2 b n = 0 , , c n b 0 b 1 b n 1 = 0

又D无零因子,故 c 0 , c 1 , , c n 均为零,矛盾。

致谢

作者感谢河南工业大学理学院科教融合项目以及河南工业大学“大学生创新创业训练计划项目”的支持。作者同时感谢审稿人的宝贵意见。

基金项目

本文由河南工业大学项目(26510009)、河南省教育厅项目(17A110004)以及科技厅项目(182102410049)资助。

NOTES

*通讯作者。

文章引用: 陈 意 , 陈晓友 (2019) 关于未定元的注记。 理论数学, 9, 46-48. doi: 10.12677/PM.2019.91006

参考文献

[1] Jacobson, N. (1985) Basic Algebra. W. H. Freeman and Company, New York.

[2] Rotman, J.J. (2000) A First Course in Abstract Algebra. Prentice Hall, Upper Saddle River.

[3] 张禾瑞. 近世代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1978: 102-124.

[4] 聂灵沼, 丁石孙. 代数学引论[M]. 北京: 高等教育出版社, 2000.

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