基于Constacyclic码构造的一类新的量子MDS码
A Class of New Quantum MDS Codes from Constacyclic Codes

作者: 黄 娜 * , 唐西林 :华南理工大学数学学院,广东 广州;

关键词: 量子MDS码Hermitian结构Constacyclic码Quantum MDS Codes Hermitian Construction Constacyclic Codes

摘要:
量子MDS码是一类重要的量子码。在这篇文章中,我们通过厄米特结构和常循环码构造一类长度为n=(q2+1)/a新的量子MDS码。这个结果是文献[13]中定理7的延伸。

Abstract: Quantum MDS codes are an important family of quantum codes. In this paper, we obtain a new class of quantum MDS code of the length n=(q2+1)/aby means of Hermitian construction and constacyclic codes. The result is generalized of the theorem 7 in [13].

1. 引言

量子纠错码在量子应用和量子通信中发挥着重要的作用。自从Calderbank等人(见 [1] )建立了量子码和经典码之间的联系以来,量子纠错码领域已经取得了很大的进步。近年来,通过欧几里得或厄米特自正交的经典纠错码构造了大量的量子码(见 [2] [3] [4] )。

一个q元量子码具有3个参数:码长,码字数和最小距离。一个具有码长为n,码字数为K的q元量子码Q是 q n 维Hillbert空间 ( C q ) n 的一个K维子空间,令 k = log q K ,则码长为n,最小距离为d的量子码被记为 n , k , d q 。参数为 n , k , d q 的q元量子码可以检查d − 1位错误。纠正 d 1 2 位错误。因此,在量子码理论中,一个主要的任务就是构造具有较大极小距离的量子码。带参数为 n , k , d q 的q元量子码都满足量子Singleton界(见 [5] ): k n 2 d + 2 。当达到量子Singleton界,即 k = n 2 d + 2 的量子码称为q元量子极大距离可分离码(简称量子MDS码)。

量子MDS码是量子码中最重要的一类,它在理论和应用上都有着非常重要的意义。近年来,很多q元量子MDS码通过使用不同的方法被构造,其中一个重要的方法是Hermitian正交码方法,即利用一个定义在有限域 F q 2 上关于Hermitian内积自正交的线性MDS码来构造一个q元量子MDS码。近年来常用的一些MDS线性码有:Reed Solomon码、循环码、negacyclic码、constacyclic码等等,说明它是Hermitian自正交码就能去构造相应的q元量子MDS码(见 [1] [6] - [16] )。

当q为奇素数的方幂时,构造具有较大最小距离且码长 q + 1 n q 2 1 的量子MDS码是困难的。一些码长为 n = q 2 1 a 已经被构造出来了,这些q元量子MDS码大都是利用Hermitian自正交码方法由线性MDS码得到。文献 [13] 构造了码长为 n = q 2 + 1 5 ( q = 10 m ± 3 ) ,且具有较大距离的量子MDS码。

本文主要从参考文献 [13] 中,码长为 n = q 2 + 1 5 ( q = 10 m ± 3 ) 的q元量子MDS码出发,构造了码长为 n = q 2 + 1 a ( q = 2 a m ± 2 a 1 ) ,且具有较大距离的量子MDS码。

2. 预备知识

令q为一个奇素数的方幂。设 F q 2 为具有 q 2 个元素的有限域, F q 2 n F q 2 的n维向量空间,一个具有参数为 [ n , k , d ] q 2 的线性码C是指有限域 F q 2 上n维向量空间中最小距离为d的k维子空间,其中最小距离d为不同码字之间的Hemming距离的最小值,线性码C满足Singleton界: k n 2 d + 2 。如果C达到Singleton界,即 k = n 2 d + 2 ,则称此线性码C为极大距离可分码,简称MDS码。

给任意两个向量 X = ( x 1 , x 2 , , x n ) , Y = ( y 1 , y 2 , , y n ) F q 2 n ,定义Hermitian内积 X , Y = i = 1 n x i y i q 。如果 X , Y = 0 ,则称这两个向量Hermitian正交。定义 C H = { X F q 2 n | X , Y = 0 , Y C } 为线性码的对偶码,如果 C C H ,则C称为一个Hermitian自正交码。

2.1. 量子MDS码

如何构造q元量子MDS码最近成为研究热点,比较常用的构造q元量子MDS码方法是Hermitian方法,见如下定理。

定理2.1:(见 [1] )如果存在一个有限域 F q 2 上参数为 [ n , k , d ] q 2 的MDS码C,而且 C C H ,则可以构造出一个q元量子MDS码 n , 2 k n , d q

通过这个定理,可由Reed Solomon码、循环码、negacyclic码、constacyclic码这些经典的MDS码构造出很多的q元量子MDS码,此外选择具有较大最小距离d的Hermitian自正交MDS码,便可得到较大最小距离的q元量子MDS码。

2.2. Constacyclic码

( n , q ) = 1 。对于 η F q 2 * ,一个长度为n的 q 2 元类线性码C称为η-constacyclic码当且仅当它在η-constacyclic移位下是不变的:

( c 0 , c 1 , , c n 1 ) ( η c n 1 , c 0 , , c n 2 ) .

一个码字 c = ( c 0 , c 1 , , c n 1 ) 可以用一个多项式 c ( x ) = c 0 + c 1 + + c n 1 x n 1 表示。很容易验证一个在长度的η-constacyclic码是商环 F q 2 [ x ] / x n η 的理想,并且 x c ( x ) 对应 c ( x ) 的η-constacyclic移位。而且,如果 F q 2 [ x ] / x n η 是主理想,那么 C = g ( x ) ,其中 g ( x ) x n η 的首1因式。如果 η = 1 ,那么η-constacyclic码就为negacyclic码。如果 是一个r次本原根,那么一定会存在rn次本原根 ω ,即 ω n = η 。那么,我们就有 x n η = i = 0 n 1 ( x ω 1 + i r ) 。类似于循环码,对于constacyclic码,我们也有下面的BCH界。

定理2.2:(见 [17] )设C是一个在 F q 2 上,长度为n的η-constacyclic码,其中 η 是一个r次本原根。令 ω F q 2 扩域上的一个rn次本原根,即 ω n = η 。假设C的生成多项式 g ( x ) 的根包含集合 { ω 1 + r i | i 1 i i 1 + d 2 } 。那么C的极小距离至少为d。

定义 Ω = { 1 + i r | 0 i n 1 } 。对于 j Ω 为j模rn的 q 2 -分圆陪集。设C是一个在 F q 2 上,长度为n的η-constacyclic码,且 C = g ( x ) ,那么集合 Z = { j Ω | g ( ω j ) = 0 } 称为集合C的定义集合。易知, C = j Ω C j dim ( C ) = n | Z | 。此外,我们也定义 C H 的定义集合 Z H = { j Ω | q j ( mod r n ) Z }

因此我们有以下的引理去判断一个η-constacyclic码C是否包含

引理2.3:(见 [14] )设 η F q 2 o r d ( η ) = r ,其中 r | q + 1 。C是一个在上,长度为n的η-constacyclic码,并且其定义集合为 Z Ω ,那么 C H C 当且仅当 Z ( q Z ) = ,其中 q Z = { q z ( mod r n ) | z Z }

3. 主要结果

为了定理的证明,我们需要以下的引理。

引理3.1:令 n = q 2 + 1 a , s = q 2 + 1 2 r = q + 1 。那么对于正整数 i Ω = { 1 + r i | 0 i n 1 } ,那么 C j 为j模 r ( q + 1 ) q 2 -分圆陪集有:

(1) C s = { s } C s + n ( q + 1 ) / 2 = { s + n ( q + 1 ) / 2 }

(2) C s ( q + 1 ) j = { s ( q + 1 ) j , s + ( q + 1 ) j } , 1 j n / 2

证明:(1) 如果 j = q 1 2 ,那么 1 + ( q + 1 ) j = s 。这就说明 s Ω 。又因为,所以 C s = { s } 。另外,

[ s + n ( q + 1 ) / 2 ] q 2 = s q 2 + n ( q + 1 ) ( q 2 1 ) / 2 + n ( q + 1 ) / 2 s + n ( q + 1 ) / 2 ( mod ( q + 1 ) n ) .

因此, C s + n ( q + 1 ) / 2 = { s + n ( q + 1 ) / 2 }

(2) 这个证明类似于 [13] 中引理3.12的证明。

引理3.2

(1) 令q是一个素数方幂且 q = 2 a m + t ,其中a是奇整数,。如果C是一个在 F q 2 上,长度为 n = q 2 + 1 a 的η-constacyclic码,并且其定义集合为 Z = j = 0 δ C s ( q + 1 ) j ,其中 o r d ( η ) = r 0 δ m t ,那么 C H C

(2) 令q是一个素数方幂且 q = 2 a m t ,其中a是奇整数, t = 2 a 1 。如果C是一个在 F q 2 上,长度为 n = q 2 + 1 a 的η-constacyclic码,并且其定义集合为 Z = j = 0 δ C s ( q + 1 ) j ,其中 o r d ( η ) = r 0 δ m t 2 ,那么 C H C

证明:我们只证明第一部分,第二部分的证明是类似的。我们假设 q = 2 a m + t 0 δ m t ,根据引理2.3,我们只需要证明。利用反证法,假设存在 0 i j δ ,使得 C s ( q + 1 ) i = q C s ( q + 1 ) j 。那么只有以下两种情况。

情况1: s ( q + 1 ) i q ( s ( q + 1 ) j ) ( mod ( q + 1 ) n )

那么我们有

i + q j q 2 + 1 2 0 ( mod q 2 + 1 a ) .

因为 q 2 + 1 2 = q 2 + 1 2 a a = q 2 + 1 2 a + q 2 + 1 a a 1 2 ,所以

i + q j q 2 + 1 2 a 0 ( mod q 2 + 1 a ) .

q = 2 a m + t ,则

.

等式左边

( 2 a m 2 + 2 m t + 1 ) i + ( 2 a m + t ) j ( 2 a m 2 + 2 m t + 1 ) < t 1 2 ( 4 a m 2 + 4 m t + 2 ) ,

i + ( 2 a m + t ) j ( 2 a m 2 + 2 m t + 1 ) = x ( 4 a m 2 + 4 m t + 2 ) ,从而 0 x t 3 2 。因此我们有

i = 2 a ( 2 x + 1 ) m 2 + 2 ( 2 x + 1 ) m t + 2 x + 1 j ( 2 a m + t ) .

如果 j ( 2 x + 1 ) m ,那么 i 2 m t x + 2 m t + 2 x + 1 > m t ,与已知矛盾。

如果 j ( 2 x + 1 ) m + 1 ,那么 i ( 2 x t + t 2 a ) m + ( 2 x + 1 t ) < 0 ,也与已知矛盾。

情况2: s ( q + 1 ) i q ( s + ( q + 1 ) j ) ( mod ( q + 1 ) n )

那么我们有

i + q j + q 2 + 1 2 0 ( mod q 2 + 1 a ) .

因为 q 2 + 1 2 = q 2 + 1 2 a a = q 2 + 1 2 a + q 2 + 1 a a 1 2 ,所以

i + q j + q 2 + 1 2 a 0 ( mod q 2 + 1 a ) .

q = 2 a m + t ,则

.

等式左边

2 a m 2 + m t + 1 i + ( 2 a m + t ) j + ( 2 a m 2 + 2 m t + 1 ) < t + 1 2 ( 4 a m 2 + 4 m t + 2 ) ,

i + ( 2 a m + t ) j + ( 2 a m 2 + 2 m t + 1 ) = x ( 4 a m 2 + 4 m t + 2 ) ,从而 1 x t 1 2 。因此我们有

i = 2 a ( 1 2 x ) m 2 + 2 ( 1 2 x ) m t + 1 2 x + j ( 2 a m + t ) .

如果 j ( 2 x 1 ) m ,那么 i m t 2 m t x + 1 2 x < 0 ,与已知矛盾。

如果 j ( 2 x 1 ) m + 1 ,那么 i ( t 2 t x + 2 a ) m + 1 2 x + t > m t ,也与已知矛盾。

所以假设不成立,故 Z ( q Z ) = 。即原命题得证。

定理3.3:

(1) 令q是一个素数方幂且 q = 2 a m + t ,其中a是奇整数, t = 2 a 1 。那么存在一个参数为 q 2 + 1 a , q 2 + 1 a 2 d + 2 , d 的q元的量子MDS码,其中 2 d 2 m t + 2 且d为偶数。

(2) 令q是一个素数方幂且 q = 2 a m t ,其中a是奇整数, t = 2 a 1 。那么存在一个参数为 q 2 + 1 a , q 2 + 1 a 2 d + 2 , d 的q元的量子MDS码,其中且d为偶数。

证明 由引理3.1可知,除了 C s C s + n ( q + 1 ) / 2 ,其余的 q 2 -分圆陪集都含有两个元素,再根据引理3.2,定理2.3,定理2.2和定理2.1易证得该定理。

推论3.4 ( [13] 中定理7)

(1) 令q是一个素数方幂且 q = 10 m + 3 ,那么存在一个参数为 q 2 + 1 5 , q 2 + 1 5 2 d + 2 , d 的q元的量子MDS码,其中 2 d 6 m + 2 且d为偶数。

(2) 令q是一个素数方幂且 q = 10 m 3 ,那么存在一个参数为 q 2 + 1 5 , q 2 + 1 5 2 d + 2 , d 的q元的量子MDS码,其中 2 d 6 m 2 且d为偶数。

基金项目

广州市对外科技合作项目:小弧形表面缺陷自动检测技术和系统(编号201704030062)。

文章引用: 黄 娜 , 唐西林 (2018) 基于Constacyclic码构造的一类新的量子MDS码。 理论数学, 8, 644-649. doi: 10.12677/PM.2018.86086

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