潘勒韦IV型差分方程亚纯解唯一性
The Unicity of the Meromorphic Solutions of Painlevé IV Difference Equations
作者: 张美娟 :福建师范大学数学与信息学院,福建 福州; 林珊华 :泉州师范学院数学与计算机科学学院,福建 泉州;
关键词: 复差分方程; 亚纯解; 唯一性; Complex Difference Equation; Meromorphic Solution; Unicity
摘要:Abstract: In this paper, we use Nevanlinna theory to discuss the unicity problems of the finite-order tran-scendental meromorphic solution of Painlevé IV difference equations with another meromorphic function that share three values.
1. 引言
本文采用Nevanlinna理论中的一些基本概念和标准符号 [1] [2] 。亚纯函数通常指定义在整个复平面上的亚纯函数。设f是亚纯函数,用 表示亚纯函数f的增长级,用 表示亚纯函数f的超级,且定义如下
定义集合 的线性测度为 ,以及对数测度为 。如果亚纯函数a满足 ,其中 ,那么称a是f的小函数,可能需除去一对数测度有限的例外集。设f和g为非常数亚纯函数,a为任意复数,如果 与 的零点相同并计重数,则称f与gCM分担a。如果f与g的极点相同并计重数,则称f与gCM分担 。
潘勒韦方程是一类物理背景深厚且应用广泛的重要方程。近十年来,人们通过引入Nevanlinna 理论深入研究了复域微分和差分方程,并取得了一些优秀的成果。随着Halburd和Korhonen [3] 以及Chiang和Feng [4] 的奠基性研究型成果的出现,促进了差分的Nevanlinna理论的建立以及潘勒韦差分方程的发展。而后,Halburd [5] ,Ronkainen [6] ,张继龙 [7] 等人对非线性差分方程进行了分类,给出了几类差分Riccati方程和潘勒韦I-V型差分方程。
设 均是f的小函数,记 是关于z亚纯,关于f有理的函数,其中 ,并且 的次数分别为 。
汪晓明 [8] 等人研究了潘勒韦III型差分方程
的有限级超越亚纯函数解的唯一性,证明了在一定条件下,如果潘勒韦III型差分方程的有限级超越亚纯解f与另一个亚纯函数g有两个不同的有限分担值并且有完全相同的极点(计重数),那么 。
1991年,Ramani [9] 考察了潘勒韦IV型差分方程 ,其中该方程的所有系数均为常数且 是关于z有理的函数。
本文,我们将 推广至 ,进而研究了以下潘勒韦IV型差分方程
(1.1)
的有限级超越亚纯函数解的唯一性问题,又置
(1.2)
我们得到了如下定理:
定理1.1:设f是差分方程(1.1)的有限级超越亚纯函数解,g是一个亚纯函数, 为正整数且满足 。 为两个互异的有穷复数, 如(1.2)所示,若f和gCM分担 ,且 ,则 。
2. 引理
首先,亚纯函数f的差分多项式 定义如下:
(2.1)
其中,J是指标集, 是复常数, 是非负整数,系数 是f的小函数。对 的每一个单项式 ,定义其次数为 。并定义 的次数为
接下来,为证明定理1.1,我们需要下列一些引理。
引理2.1 [10] 设f是超级的非常数亚纯函数,c是一非零有穷复数,则存在正数
,使得
对所有r成立,至多除去一个对数测度为有限的集合。
引理2.2设f是超级
的超越亚纯函数,且满足差分方程
,其中如(2.1)所定义。设a为f的小函数且满足
,则
对所有r成立,至多除去一个对数测度为有限的集合。
证明:令 ,并代入差分方程 中,于是得到
其中 ,其每一项都是次数不小于1的关于g的多项式,且 ,显然 ,否则 ,有 ,即 ,与题设矛盾。
接下来,我们来讨论 的情况。首先,记 , ,则当 时,由
其中 。再由引理2.1,有
则可得到
(2.2)
而当 时,
(2.3)
所以由(2.2)及(2.3),可得
得证。
引理2.3 [7] 设f是超级 的亚纯函数,且满足差分方程 ,其中 如(2.1)所示, 是f的多项式,如(1.1)所示,若
则 。
引理2.4 [11] 设h为非常数整函数,
,
和分别表示f的级和下级,
i) 若h为p次多项式,则 ;
ii) 若h为超越亚纯函数,则 。
引理2.5 [11] 设 于开平面亚纯, 不为常数, 且满足
其中
。如果,且
其中 ,则 。
3. 定理1.1的证明
由假设条件 及引理2.2,有
(3.1)
另外,由Nevanlinna第二基本定理
(3.2)
同理可证
(3.3)
所以
(3.4)
假设
(3.5)
其中, 是两个关于z的多项式。如果 ,或者 ,或者 时,则显然 。
下面假设 , ,且 。则由(3.2),(3.3)以及(3.5)可得
(3.6)
因此 。
令 ,则由(3.5)式可得
(3.7)
或
(3.8)
于是由(3.7)可得
(3.9)
所以,又
,故
。
下面我们证明 。首先,我们假设
其中, 均为整函数,于是(3.7)可以写成
结合(3.1)式子可得
(3.10)
由条件 ,所以由引理2.3有 ,故
(3.11)
另外由第二基本定理可得
又
所以
(3.12)
同理可证得
(3.13)
于是,由(3.10)~(3.13)有
(3.14)
对(3.8)式类似分析可得
(3.15)
因此,由(3.14)及(3.15)可得
(3.16)
又由于 为非常数多项式,不妨设 ,d是一个非零正整数,则由引理2.4及(3.16)式得
(3.17)
接下来,我们引入 ,则将(3.7)式代入(1.1)式中得
又注意到 ,于是等式两边同时乘以 ,则可化为
(3.18)
令 , , , 。其中 均为次数至多是 的多项式,于是(3.18)整理可得
(3.19)
其中 不同时为零, 为关于 的多项式。
特别地,计算可知
(3.20)
于是,等式(3.19)两边同时除以 ,并且移项得
(3.21)
不妨记 ,则(3.21)可以写成 ,其中q是一个有穷正整数。
而且,当 时,我们断言
事实上,当 时,则 是 和f的小函数,于是
又
所以 ,矛盾,故 。
最后,由 的定义,有 ,所以 。又 ,其中 。所以由 ,可得 ,进而可以得到,对任意的 ,有
于是,存在一个 ,使得
故由引理2.5,可知
,即存在,使得
即 ,矛盾,故假设不成立。
至此,定理1.1证毕。
基金项目
本论文得到福建省中青年教师教育科研项目(JA15394)和福建自然科学基金项目(2018R0038)的资助。
文章引用: 张美娟 , 林珊华 (2018) 潘勒韦IV型差分方程亚纯解唯一性。 理论数学, 8, 596-603. doi: 10.12677/PM.2018.86080
参考文献
[1] Hayman, W. (1964) Meromorphic Function. Clarendon Press, Oxford.
[2] 仪洪勋, 杨重骏. 亚纯函数唯一性理论[M]. 北京: 科学出版社, 1995.
[3]
Halburd, R.G. and Korhonen, R.J. (2006) Difference Analogue of the Lemma on the Logarithmic Derivative with Applications to Difference Equations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 314, 477-487.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2005.04.010
[4]
Chiang, Y.M. and Feng, S.J. (2008) On the Nevanlinna Characteristic of and Difference Equations in the Complex Plane. Ramanujan Journal, 16, 105-129.
https://doi.org/10.1007/s11139-007-9101-1
[5]
Halburd, R.G. and Korhonen, R.J. (2007) Finite-Order Meromorphic Solutions and the Discrete Painlevé Equations. Proceedings of the London Mathematical Society, 94, 443-474.
https://doi.org/10.1112/plms/pdl012
[6] Ronkainen, O. (2010) Meromorphic Solutions of Difference Painlevé Equations. Ph.D. Thesis, Department of Physics and Mathematics, University of Eastern Finland, Joensuu.
[7]
Zhang, J.L. (2014) Meromorphic Solutions of Painlevé IV Difference Equations. Advances in Difference Equations, 2014, 260.
https://doi.org/10.1186/1687-1847-2014-260
[8] 汪晓明, 高宗升, 陈敏凤. 潘勒韦III差分方程亚纯解的唯一性[J]. 华东师范大学学报(自然科学版), 2017(6): 26-32.
[9]
Ramani, A., Grammaticos, B. and Hietarinta, J. (1991) Discrete Versions of Painlevé Equations. Physical Review Letters, 67, 1829-1832.
https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.67.1829
[10]
Halburd, R., Korhonen, R. and Tohge, K. (2014) Holomorphic Curves with Shift-Invariant Hyperplane Preimages. Transactions of the American Mathematical Society, 366, 4267-4298.
https://doi.org/10.1090/S0002-9947-2014-05949-7
[11] Yang, C.C. (1974) Uniqueness Theory of Meromorphic Functions. Kluwer Acadamic Publishers, Dordrecht.