波动方程:拟稳定性和广义指数吸引子
Wave Equation: Quasi-Stability and Generalized Exponential Attractor

作者: 富 娜 * , 刘琳琳 :西南交通大学数学学院,四川 成都;

关键词: 波动方程拟稳定全局吸引子有限维指数吸引子Wave Equation Quasi-Stability Global Attractor Fractal Dimension Exponential Attractor

摘要:
本文研究波动方程解的长时间动力学行为,通过使用Chueshov和Lasiecha的方法,得到系统具有拟稳定的性质,从而得到全局吸引子是存在而且有限维的,并且得到广义指数吸引子也是存在的。

Abstract: This paper studies the long-term dynamical behavior of the solution of the wave equation. By using the methods developed by Chueshov and Lasiecha, we get the quasi-stability property of the system and obtain the existence of a global attractor which has finite fractal dimension. Result on exponential attractors of the system is also proved.

1. 引言

波动方程是数学物理中最具吸引力的研究领域之一。它始于简单的小提琴弦的模型,并发展成用于研究各种各样的现象,近年来对其研究日益加深,因此波动方程的数学模型越来越复杂,对其挑战性问题也越来越多。其中对于波动方程解的存在唯一性,长时间行为已有广泛的研究 [1] [2] [3] [4] [5] ,并得出了吸引子及其结构。但是Chueshov和Lasiecha [6] 给出了一种新的方法研究吸引子的存在性和几何结构,并且可以得到解关于时间的正则性和广义指数吸引子的存在性等更好的性质。基于 [6] 的思想方法,Feng [7] 中考虑了Timoshenko-Coleman-Gurtin系统的拟稳定性和吸引子的存在性,基于 [6] [7] ,我们考虑下面的波动方程

{ u t t + α u t Δ u + f ( u ) = q ( x ) , in Ω , t > 0 , u | Γ = u t | Γ = 0 , on Ω , t > 0 , u ( 0 , x ) = u 0 ( x ) H 0 1 ( Ω ) , u t ( 0 , x ) = u 1 ( x ) L 2 ( Ω ) , (1)

其中 α 是一个正常数,设 Ω R 3 中具有光滑边界 Γ 的有界区域。

设(1)中的函数 f : R R , F ( s ) = 0 f ( η ) d η ,且函数 f , F 满足下面的条件

lim inf | s | F ( s ) s 2 0 (2)

并且存在 c 1 , c 2 > 0 ,使得

lim inf | s | s f ( s ) c 1 F ( s ) s 2 0 (3)

| f ( s ) | c 2 ( 1 + | s | 2 ) (4)

不失一般性,假设 q : R 3 R , q L 2 ( Ω )

方程(1)具有丰富的物理意义,如当 f ( s ) = sin s 时,(1)为Sine-Gordon方程;当 f ( s ) 为多项式时,(1)为量子力学中的非线性波动方程。

我们已经知道方程(1)的解决定了一个在空间 H = H 0 1 ( Ω ) × L 2 ( Ω ) 上的半群,对于该半群的动态性状我们已经有在H上存在整体吸引子,但是对于解关于时间的正则性和广义指数吸引子的存在性仍然没有得到,本文的目的就在于此。

2. 半群

在这一部分,我们将证明方程(1)确定一个半群,为了证明方便,将空间 L 2 ( Ω ) 中的内积和范数表示为

( u , v ) 0 = Ω u v d x u 0 2 = ( u , u ) 0

将空间 H 0 1 ( Ω ) 中的内积和范数表示为

( u , v ) 1 = ( u , v ) 0 + ( u , v ) 0 u 1 2 = ( u , u ) 1

引入内积空间 H = H 0 1 ( Ω ) × L 2 ( Ω ) ,将空间H中的内积和范数表示为

( w , w ) H = ( w 1 , w 1 ) 1 + ( w 2 , w 2 ) 0 w H 2 = w 1 1 2 + w 2 0 2

对任意 w = ( w 1 , w 2 ) w = ( w 1 , w 2 ) H

D ( A ) = { u , Δ u L 2 ( Ω ) , u | Γ = u t | Γ = 0 }

A的特征值为 { λ i } i N + 满足 0 λ 1 λ 2 λ m ,且当 m λ m

为了证明解的存在性,我们设 v = u t ,则方程(1)可以改写为如下的一阶方程

{ d u d t = v , d v d t + α v Δ u + f ( u ) = q ( x ) , u | Γ = v | Γ = 0 , u ( 0 , x ) = u 0 ( x ) H 0 1 ( Ω ) , v ( 0 , x ) = u 1 ( x ) L 2 ( Ω ) , (5)

W = [ u v ] L = [ v α v Δ u ] G ( W ) = [ 0 q ( x ) f ( u ) ]

则方程(5)可转化为如下形式

d W d t + L W = G ( W ) W ( 0 ) = W 0 (6)

文献 [8] 中的定理2.1证明算子 L 是H上的一个扇形算子,并且生成H上的一个强连续半群 e L t ,由条件(2)~(4)容易验证函数 G ( W ) : H H 关于W是局部Lipschitz连续的,因此我们有下面的结果。

定理2.1:若假设(2)-(4)成立,则对任意 W 0 H ,方程(6)都存在唯一的柔和解 W C 0 ( [ 0 , ) ; H ) 满足

W ( t ) = e L t W ( 0 ) + 0 e L ( t s ) G ( W ( s ) ) d s , t 0

且对固定的 t 0 有连续影射 T ( t ) ,使得

T ( t ) : W ( 0 ) = ( u 0 , u 1 ) T W ( t ) = ( u ( t ) , u t ( t ) ) T , H H .

证明:因为 e L t 是强连续半群,并且 G ( W ) : H H 关于W是局部Lipschitz连续的,解的局部存在唯一性容易得到,整体解的存在性由下面的引理3.2得到。由定理2.1可以知道 T ( t ) , t 0 是一个半群。

3. 吸收集

在这一部分,我们采用Temam [1] 中证明吸收集的存在性的方法证明系统吸收集的存在性。

φ 1 = u , φ 2 = u t + ε u ,其中 ε = α ( α 2 1 ) 3 ( α 2 1 ) + α 4 1 ,因此方程(1)可写作如下形式

{ d φ 1 d t + ε φ 1 φ 2 = 0 , d φ 2 d t ε φ 2 + ε 2 φ 1 + α ( φ 2 ε φ 1 ) Δ φ 1 f ( φ 1 ) = q ( x ) , u | Γ = v | Γ = 0 , u ( 0 , x ) = u 0 ( x ) H 0 1 ( Ω ) , v ( 0 , x ) = u 1 ( x ) L 2 ( Ω ) , (7)

θ = [ φ 1 φ 2 ] L ε ( θ ) = [ ε φ 1 φ 2 ε φ 2 + ε 2 φ 1 + α ( φ 2 ε φ 1 ) Δ φ 1 ] G ( θ ) = [ 0 q ( x ) f ( φ 1 ) ]

则(7)等价于

d θ d t + L ε ( θ ) = G ( θ ) θ ( 0 ) = ( φ 1 ( 0 ) , φ 2 ( 0 ) ) T (8)

由方程(8)可知,其解可以定义一个连续的算子半群 T ε ( t ) : θ ( 0 ) θ ( t )

由于 T ( t ) = R ε T ε ( t ) R ε ,其中 R ε : ( u , v ) T ( v + ε u ) T 是H上的一个同构,于是我们将对 T ( t ) 的研究转化到对系统(8)以及 T ε ( t ) 的研究上来。

下面介绍一个辅助引理,它是证明吸引子存在性的核心工具。

引理3.1:对任意的 θ = ( φ 1 , φ 2 ) T = ( u , u t + ε u ) T H ,有

( L ε ( θ ) , θ ) H ε 2 θ H 2 + α 2 φ 2 0 2

证明:在H中

( L ε ( θ ) , θ ) H = ( ε φ 1 φ 2 , φ 1 ) 1 + ( ε φ 2 + ε 2 φ 1 + α ( φ 2 ε φ 1 ) Δ φ 1 , φ 2 ) 0

由Green第二公式以及零边界条件可得

( L ε ( θ ) , θ ) H ε 2 θ H 2 α 2 φ 2 0 2 = ε φ 1 1 2 ( φ 1 , φ 2 ) 1 + ( ε 2 α ε ) ( φ 1 , φ 2 ) 0 ε φ 2 0 2 + α φ 2 0 2 ( Δ φ 1 , φ 2 ) 0 ε 2 φ 1 1 2 ε 2 φ 2 0 2 α 2 φ 2 0 2 ε 2 φ 1 0 2 ( 1 ε 2 + α ε ) φ 1 0 φ 2 0 + ( α 2 3 ε 2 ) φ 2 0 2

由于

α 3 ε 0 2 ε 2 α 3 ε 2 1 ε 2 + α ε

因此引理成立。

引理3.2:对H的任意有界集B,存在一个常数 C 1 > 0 T ( B ) ,当 t T 时,对任意 φ ( 0 ) B ,有

T ε ( t ) φ ( 0 ) H 2 C 1

证明:在H中,取 θ 与方程(8)两边在H中做内积,并结合引理3.1可得

1 2 d d t θ H 2 + ε 2 θ H 2 + α 2 φ 2 0 2 + ( F ( φ 1 ) , 1 ) 0 + ( f ( φ 1 ) , φ 1 ) 0 ( q ( x ) , φ 2 ) 0

由(2)和(3),存在常数 k > 0 ,使得

( φ 1 , f ( φ 1 ) ) 0 c 1 ( F ( φ 1 ) , 1 ) 0 1 16 φ 1 2 k (9)

( F ( φ 1 ) , 1 ) 0 1 16 ( 1 + c 1 ) φ 1 2 k (10)

由(9)和(10)可得

1 2 d d t ( θ H 2 + 2 ( F ( φ 1 ) , 1 ) 0 ) + 7 ε 16 φ 1 1 2 + ( ε 2 + α 2 ) φ 2 0 2 + c 1 ε ( F ( φ 1 ) , 1 ) 0 ( q , φ 2 ) 0 + ε k

由Cauchy-Schwartz不等式可得

1 2 d d t ( φ H 2 + 2 ( F ( φ 1 ) , 1 ) 0 ) + 7 ε 16 φ 1 1 2 + 7 ε 16 φ 2 0 2 + c 1 ε ( F ( φ 1 ) , 1 ) 0 1 2 α q 0 2 + ε k

因此有

d d t ( θ H 2 + 2 ( F ( φ 1 ) , 1 ) 0 ) + 7 ε 8 ( θ H 2 + 2 c 1 ( F ( φ 1 ) , 1 ) 0 ) 1 α q 0 2 + 2 ε k

由(10)可得

θ H 2 + 2 ( F ( φ 1 ) , 1 ) 0 7 8 θ H 2

由Gronwall’s不等式可得

θ H 2 + 2 ( F ( φ 1 ) , 1 ) 0 θ H 2 + 2 ( F ( φ 1 ) , 1 ) 0 e 7 k 1 ε 8 t + ( 8 7 α k 1 ε q 0 2 + 16 k 7 k 1 ) ( 1 e 7 k 1 ε 8 t )

其中

k 1 = min { 1 , 4 c 1 }

θ 0 H 2 r ,由(4)和Sobolev’s嵌入定理,则存在 K ( r ) > 0 ,使得

θ H 2 + 2 ( F ( φ 1 ) , 1 ) 0 K ( r )

因此

θ 0 H 2 8 7 K ( r ) e k 1 ε 4 t + ( 64 49 α k 1 ε q 0 2 + 128 k 49 k 1 ) ( 1 e k 1 ε 4 t )

C 1 = 64 49 α k 1 ε q 0 2 + 128 k 49 k 1

故结论成立。

定理3.3:对半群 T ε ( t ) 存在H上的有界吸收集 B 0 ,使得

T ε ( t ) B 0 B 0

其中的 B 0 的半径为 r 0 r 0 2 C 1

4. 动力系统的拟稳定性和渐进光滑性

在这一部分,我们将会讨论动力系统 ( H , T ε ) 是拟稳定的并且是渐近光滑的。

假设4.1:设X,Y是两个自反的Banach空间,且X紧嵌入Y,我们定义 H = X × Y 。考虑由发展算子

S ( t ) U 0 = ( u , u t ) U 0 = ( u ( 0 ) , u t ( 0 ) ) H (11)

给定的动力系统 ( H , S ( t ) ) ,其中函数u具有正则性

u C ( R + , X ) C 1 ( R + , Y ) (12)

定义4.2:动力系统 ( H , S ( t ) ) 在集合 B H 上称为拟稳定的:如果在X上存在紧的半范数 n X 和非负内积函数 a ( t ) b ( t ) c ( t ) 使得

(i) a ( t ) c ( t ) [ 0 , + ) 上局部有界,

(ii) b ( t ) L 1 ( R + ) lim t b ( t ) = 0

(iii) 对任意的 u 1 , u 2 B t > 0 下面的关系成立:

S ( t ) U 1 S ( t ) U 2 H 2 a ( t ) U 1 U 2 H 2 (13)

S ( t ) U 1 S ( t ) U 2 H 2 b ( t ) U 1 U 2 H 2 + c ( t ) sup 0 < s < t [ n X ( u 1 ( s ) u 2 ( s ) ) ] 2 (14)

引理4.3:假设B是空间H中的一个有界集,则存在常数 r , b 0 > 0 C B > 0 使得

T ε U 1 T ε U 2 b 0 e r t U 1 U 2 H 2 + C B ( 1 e r t ) u 1 u 2 0 2 (15)

其中 T ε ( t ) U i = ( u i , u t i + ε u i ) 是方程(8)在B中关于初值条件 U i , i = 1 , 2 的解。

证明:对任意的 ( u 0 i , u 1 i ) B , i = 1 , 2 ,其中假设B是空间H中的有界集。设 U i ( t ) = ( u i , u t i + ε u i ) , i = 1 , 2 ,是关于初值条件 ( u 0 i , u 1 i ) 的两个弱解。我们定义 Φ = ( u 1 u 2 , u t 1 + ε u 1 u t 2 ε u 2 ) = ( U 2 U 1 ) ,且 G ( Φ ) = ( 0 , f ( u 1 ) f ( u 2 ) ) T ,则满足

d Φ d t + L ε ( Φ ) = G ( Φ ) (16)

由Dirichlet边界条件和初值条件

U 1 ( 0 ) U 2 ( 0 ) = ( Φ 0 , Φ 1 )

并取 Φ 与方程(16)两边做内积结合引理3.1,我们可以得到下面的不等式

1 2 d d t Φ H 2 + ε 2 Φ H 2 + α 2 Φ 0 2 ( f ( u 1 ) f ( u 2 ) , Φ 2 ) 0 f ( u 1 ) f ( u 2 ) 0 Φ 2 0 1 2 α f ( u 1 ) f ( u 2 ) 0 2 + α 2 Φ 2 0 2

由(4)、Holder不等式、Young不等式以及Sobolev嵌入定理可得

f ( u 1 ) f ( u 2 ) 0 2 = Ω ( f ( u 1 ) f ( u 2 ) ) 2 d x C 2 Ω ( | u 1 | 3 | u 2 | 3 ) 2 d x ( C 2 Ω ( | u 1 | 2 + u 1 u 2 + | u 2 | 2 ) 3 d x ) 2 3 ( Ω ( u 1 u 2 ) 6 d x ) 1 3 C 2 ( 1 4 k | u 1 | 2 + u 1 u 2 + | u 2 | 2 L 3 2 + k u 1 u 2 L 6 2 ) K u 1 u 2 L 6 2 K u 1 u 2 H 0 1 2

可得存在常数 k > 0 ,使得

1 2 d d t Φ H 2 + ε 2 Φ H 2 K u 1 u 2 H 0 1 2

结合Gronwall’s不等式

Φ ( t ) H 2 Φ ( 0 ) H 2 e ε t + 2 k ε u 1 u 2 H 0 1 2 ( 1 e ε t )

我们有

T ε U 1 T ε U 2 H 2 e ε t U 1 U 2 H 2 + 2 k ε ( 1 e ε t ) u 1 u 2 H 0 1 2

因此得到(16)。证毕。

定理4.4:动力系统 ( H , T ε ( t ) ) 在任意有界正向不变集 B H 上是拟稳定的。

证明:因为动力系统 ( H , T ε ( t ) ) 是方程(8)的解半群确定的。因此当 X = H 0 1 , Y = L 2 时(11)~(12)成立。此外,由解的存在性我们容易得到条件(13)成立。

B H 关于 T ( t ) 的有界正向不变集。设 T ( t ) U i = ( u i , u i + ε u i ) 是方程(8)关于初值条件 U i , i = 1 , 2 在B中的解,我们定义半范数

n X ( Φ ) = Φ L 2 2

其中 Φ = U 1 U 2 。由紧嵌入定理 H 0 1 L 2 ,我们可知 n X ( ) 在X上是紧的。由引理4.3可以推断出

T ε U 1 T ε U 2 H 2 b ( t ) U 1 U 2 H 2 + c ( t ) sup 0 < s < t [ n X ( u 1 ( s ) u 2 ( s ) ) ] 2

其中 b ( t ) = b 0 e r t c ( t ) = C b ( 1 e r t ) , t 0 。可以得到

b ( t ) L 1 ( R + ) 并且 lim t b ( t ) = 0

因为 B H 是有界的,我们可知 c ( t ) [ 0 , ) 上是局部有界的。因此拟稳定不等式成立,即动力系统 ( H , S ( t ) ) 在任意正向有界不变集 B H 上是拟稳定的。

定理4.5:假设动力系统 ( H , T ε ( t ) ) 在每个正向有界不变集 B H 是拟稳定的, 则动力系统 ( H , T ( t ) ) 是渐近光滑的。

证明:定理的证明由Chueshov和Lasiecka [6] 中定理7.9.4给出。

5. 全局吸引子和广义指数吸引子

在这一部分中,我们将证明整体吸引子和广义指数吸引子的存在性。

定理5.1:假设(2)~(4)成立,则由方程(9)生成的动力系统 ( H , T ε ( t ) ) 具有一个紧的全局吸引子A并且维数是有限的。

证明:由定理4.5,我们可得动力系统 ( H , T ε ( t ) ) 是渐近光滑的,则由引理3.2和定理4.3,我们可以得到问题(8)具有紧的全局吸引子A,且A是有限维的。

定理5.2:假设(2)~(4)成立,则动力系统 ( H , T ε ( t ) ) 具有一个广义指数吸引子 A exp H ,并且在广义空间 H ˜ = L 2 ( Ω ) × H 1 ( Ω ) H 中是有限维的

证明:因为动力系统 ( H , T ε ( t ) ) 在B上是拟稳定的,对具有初值条件 y = U ( 0 ) B 的解 U ( t ) ,我们可以由B的不变性知,存在 C B > 0 使得对任意 0 t T

U t ( t ) H ˜ C B

因此,对任意的 0 t 1 t 2 T

T ε ( t 1 ) U T ε ( t 2 ) U H ˜ t 1 t 2 U t ( τ ) H ˜ d τ C B | t 1 t 2 | r , t 1 , t 2 [ 0 , T ] , U B (17)

由(18)式,对任意 U B ,映射 t T ( t ) y 在广义空间 H ˜ 是Holder连续的,则我们可得到存在指数吸引子并且在空间 H ˜ 中是有限维的。

基金项目

本研究得到国家自然科学基金(项目编号:71273214)的资助。

文章引用: 富 娜 , 刘琳琳 (2018) 波动方程:拟稳定性和广义指数吸引子。 理论数学, 8, 508-515. doi: 10.12677/PM.2018.85068

参考文献

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