点群胚的Orbifold K-理论
Orbifold K-Theory of Point Orbifolds

作者: 林奕武 :广东金融学院,金融数学与统计学院,广东 广州;

关键词: Orbifold丛群胚点群胚Orbifold K-理论有限群表示特征标Orbifold Bundle Groupoid Point Orbifold Orbifold K-Theory Representation of Finite Group Character

摘要:
本文以点群胚为例子,计算点群胚上Orbifold K-理论的几类环结构,并且比较这几类环结构之间的差异。

Abstract: In this paper we study the point orbifold, and calculate some kinds of ring structure of point orr-bifolds. Then we compare the difference among these ring structures.

1. 引言

Orbifold K-理论是Adem和Ruan [1] 首先提出来的。他们把orbifold X上的orbifold K-理论 K o r b ( X ) 定义为orbifold X上所有orbifold丛的等价类构成的Grothendieck群。若X是一个global quotient [ X / G ] ,则 K o r b ( X ) 刚好是等变K-理论 K G ( X ) 。给定一个twisting α : G × G C ,Adem和Ruan [1] 还定义了twisted orbifold K-理论,但是他们并没有给出两类orbifold K-理论的环结构。

设X为一个紧致的近复orbifold,Adem,Ruan和Zhang [2] 考虑X上的inertia orbifold Λ X ,定义了 Λ X 上的twisted orbifold K-理论 α K o r b ( Λ X ) 的环结构 · A R Z ,并称之为弦积。对于非twisted的情形,Hu和Wang [HW]定义了orbifold K-理论 K o r b ( X ) 的乘法 · H W 。他们通过限制映射

e * : K o r b ( X ) K o r b ( Λ X ) ,

α 1 , α 2 K o r b ( X ) 限制在 Λ X 的每个分支上。在 K o r b ( Λ X ) 上做弦积,然后利用 e * 的左逆 e # 拉回到 K o r b ( X ) 上。即

α 1 · H W α 2 = e # ( e * α 1 · A R Z e * α 2 ) .

对于twisted的情形,Lin [L]把 α K o r b ( X ) 分解到 K o r b ( Λ X ) 上。这里 K o r b ( Λ X ) 是平常的K-理论。然后在 K o r b ( Λ X ) 上构造新的乘法,再拉回到 α K o r b ( X ) 上,得到 α K o r b ( X ) 的环结构。

本文以点群胚 · G 为例子,计算orbifold K-理论上述两种环结构,并比较它们之间的差异。由于G是有限群, K o r b ( · G ) 与群代数 C G 是线性同构的。 K o r b ( · G ) 中的每一个元都是一个G表示。因此,计算环结构的时候可以充分利用有限群表示的理论。比如特征表的正交性等。本文得到的主要结论为定理3.1和定理3.7:

定理3.1设 V , W K o r b ( · G ) ,则 V · H W W = | G | V W

定理3.7若 ( V 1 , π 1 ) , ( V 2 , π 2 ) K o r b ( · G ) ( V 1 , π 1 ) , ( V 2 , π 2 ) 不可约,则

( V 1 , π 1 ) · L ( V 2 , π 2 ) = { 0 , π 1 π 2 , | G | n ( V 1 , π 1 ) , π 1 = π 2 .

其中 n = dim V 1

2. 准备知识

本节主要介绍Orbifold K-理论,弦积等概念,以及 K o r b ( · G ) 中两种环结构的定义。这些概念主要来自于 [1] [2] [4] 和 [5] 。

定义2.1 [1] 设X是一个紧致的orbifold,我们称X上所有orbifold丛的等价类构成的Grothendieck群为X上的orbifold K-理论。记为 K o r b ( X )

若X是一个global quotient [ X / G ] ,则 K o r b ( X ) 刚好是 K G ( X ) 。这里 K G ( X ) 是等变K-理论,详见 [6] 。若 α : G × G C 是一个twisting,global quotient [ X / G ] 上的twisted orbifold K-理论定义如下。

定义2.2 [1] [ X / G ] 上的twisted orbifold K-理论定义为所有 α -twisted G-等变丛的等价类构成的Grothendieck群。记为 α K o r b ( X ) α K G ( X )

Orbifold X的每一个不动子集 X ( g ) 上都有自然的orbifold结构。因此X可对应一个更大的orbifold Λ X = ( g ) X ( g ) 。称之为X的inertia orbifold。Adem,Ruan和Zhang [2] 定义了 α K o r b ( Λ X ) 上的弦积 · A R Z 。对任意 β ˜ , γ ˜ K α o r b ( Λ X )

β ˜ · A R Z γ ˜ = ( e 12 ) ( e 1 β ˜ e 2 γ ˜ λ 1 ( E ( 2 ) ) ) ,

其中 e 1 , e 2 , e 12 分别为

e 1 : ( Λ X ) ( 2 ) Λ X , ( x , ( g , h ) ) ( x , g ) ; e 2 : ( Λ X ) ( 2 ) Λ X , ( x , ( g , h ) ) ( x , h ) ; e 12 : ( Λ X ) ( 2 ) Λ X , ( x , ( g , h ) ) ( x , g h ) .

E ( 2 ) ( Λ X ) ( 2 ) 上的阻碍丛。

在非twisted的情形,Hu和Wang [4] 利用弦积构造上的环同构。记

e = ( g ) e ( g ) : Λ X X .

在其中 e ( g ) 为每个分支 X ( g ) 往X的嵌入映射。Hu和Wang [4] 构造

e : K o r b ( X ) K o r b (ΛX)

的左逆

e # : K o r b ( Λ X ) K o r b ( X ) .

K o r b ( X ) 上的环结构 · H W 如下定义,对任意 β , γ K o r b ( X )

β · H W γ = e # ( e β · A R Z e γ ) .

对于global quotient [ X / G ] 和twisting α : G × G C ,Lin [L]在 α K o r b ( X ) 上定义了乘法 · L 。记

φ : α K o r b ( X ) g G K ( X g ) C , E g G E g .

其中 E g = ξ ξ E ξ 为g的特征值, E ξ 为g的属于 ξ 的特征丛。则在 φ 之下,

α K o r b ( X ) ( g G K ( X g ) C ) G α .

类似 [2] ,构造 ( g G K ( X g ) C ) G α 的乘法如下,对任意 β ˜ , γ ˜ ( g G K ( X g ) C ) G α

β ˜ · γ ˜ = ( e 12 ) ( e 1 β ˜ e 2 γ ˜ λ 1 ( E ( 2 ) ) ) ,

φ 把这个乘法拉回到 α K o r b ( X ) 上,便得到 α K o r b ( X ) 的乘法 · L 。即对于任意 β , γ K α o r b ( X )

β · L γ = φ 1 ( φ ( β ) · φ ( γ ) ) .

3. 几类Orbifold K-理论的环结构

对于Orbifold群胚, Γ = ( G 0 , G 1 ) 。若像空间 G 0 为一个单点,记为 · 。则态空间 G 1 为有限群,记为G。此时,称 Γ = ( G 0 , G 1 ) 为点群胚,或称为点Orbifold,记为 · G 。点群胚虽然简单,但它们是Orbifold 理论中重要的例子。

本节以点群胚 · G 为例子,利用表示论的方法,计算Orbifold K-理论的环结构 · H W · L · G 上所有的orbifold丛与G的表示群是一一对应的。我们的计算主要运用了特征标的正交性。

3.1. 一般Orbifold K-理论的环结构 · H W

· G 的inertia orbifold 为 Λ · G = ( G , G × G ) 。其源映射和靶映射分别为

s : G × G G , ( g , h ) g ; t : G × G G , ( g , h ) h .

Λ · G = ( G , G × G ) 等价于global quotient [ G / G ] 。其中G在自身的作用为 g · h = g 1 h g 。因此,我们有

K o r b ( Λ · G ) K G ( G ) .

根据文 [2] ,对任意 V ˜ = g G V ˜ g , W ˜ = g G W ˜ g K o r b ( Λ · G )

V ˜ · A R Z W ˜ = g G ( h G V ˜ h W ˜ h 1 g ) .

任取 ( V , π 1 ) , ( W , π 2 ) K o r b ( · G ) ,记 V g , W g 分别为 V , W X g 上的限制。根据Hu和Wang [4] ,

V · H W W = e # ( e V · A R Z e W ) = e # ( ( g G V g ) · A R Z ( g G W g ) ) = e # ( g , h G V h W h 1 g ) = | G | V W

因此,我们有

定理3.1设 V , W K o r b ( · G ) ,则 V · H W W = | G | V W

3.2. 一般Orbifold K-理论的环结构 · L

接着,我们计算 K o r b ( · G ) 上的另一个环结构 · L 。我们需要用到表示论的技巧,主要是特征标的正定性。

( V 1 , π 1 ) , ( V 2 , π 2 ) 为G的两个不可约表示, χ 1 , χ 2 分别为它们的特征标,则有正交性定理

定理3.2设

( χ 1 , χ 2 ) = 1 | G | g G χ 1 ( g ) χ 2 ( g ) = { 1 , χ 1 = χ 2 , 0 , χ 1 χ 2 .

π 1 , π 2 可以构造线性变换

ϕ π 1 , π 2 = 1 | G | g π 1 ( g ) π 2 ( g ) : V 1 V 2 V 1 V 2 .

则对任意 h G

ϕ π 1 , π 2 ( π 1 ( h ) π 2 ( h ) ) = ϕ π 1 , π 2 .

所以

ϕ π 1 , π 2 ϕ π 1 , π 2 = ϕ π 1 , π 2 .

因此有

命题3.3 ϕ π 1 , π 2 至多只有两个特征值:0和1。

π 1 π 2 ,则由特征标的正交性,有

t r ϕ π 1 , π 2 = 1 | G | g G χ V 1 V 2 ( g ) = 1 | G | g G χ 1 ( g ) χ 2 ( g ) = 0 .

所以得到以下定理,

定理3.4若 π 1 π 2 ,则 ϕ π 1 , π 2 为一个0映射。

π 1 = π 2 。记 π π 1 = π 2 V V 1 = V 2 ϕ ϕ π 1 , π 2 。取V中的一个规范正交基 v 1 , v 2 , , v n 使得对任意 g G π ( g ) 都为酉矩阵。取 v 1 , v 2 , , v n 为其对偶基,则 π ( g ) = ( π ( g ) 1 ) T = π ( g )

命题3.5 ϕ 的迹和秩都为1。

证明:

t r ϕ = 1 | G | g G χ V 1 V 2 ( g ) = 1 | G | χ V ( g ) χ V ( g ) = 1 | G | χ V ( g ) ¯ χ V ( g ) = 1

由命题3.3知, ϕ 的秩为1。

因为对任意 g G π ( g ) 都是酉矩阵。则有

ϕ ( v 1 v 1 + v 2 v 2 + + v n v n ) = v 1 v 1 + v 2 v 2 + + v n v n .

ϕ ( v 1 v 1 ) = a 1 v 1 v 1 + a 2 v 2 v 2 + + a n v n v n ,

a 1 + a 2 + + a n = 1 .

因此我们得到下面定理,

定理3.6

ϕ ( v i v j ) = { 1 n ( v 1 v 1 + v 2 v 2 + + v n v n ) , i = j , 0 , i j .

下面我们开始计算 K o r b ( · G ) 上的另一个环结构 · L K o r b ( · G ) 中的每一个丛都是一个G表示,因此我们只考虑不可约的G表示。

( V 1 , π 1 ) , ( V 2 , π 2 ) 为两个不可约的G表示,则

φ ( V 1 , π 1 ) = g G χ 1 ( g ) V g , φ ( V 2 , π 2 ) = g G χ 2 ( g ) V g

所以,

φ ( V 1 , π 1 ) φ ( V 2 , π 2 ) = ( g G χ 1 ( g ) V g ) ( g G χ 2 ( g ) V g ) = h G ( g G χ 1 ( g 1 ) χ 2 ( g h ) V h )

其中,

g G χ 1 ( g 1 ) χ 2 ( g h ) = g G χ 1 ( g ) χ 2 ( g h ) = g G t r ( π 1 ( g ) ) · t r ( π 2 ( g ) π 2 ( h ) ) = g G t r [ ( π 1 ( g ) π 2 ( g ) ) · ( π 1 ( 1 ) π 2 ( h ) ) ] = | G | t r [ ϕ π 1 , π 2 ( π 1 ( 1 ) π 2 ( h ) ) ]

π 1 π 2 ,则 ϕ π 1 , π 2 = 0 ,因此 g G χ 1 ( g 1 ) χ 2 ( g h ) = 0

π 1 = π 2 ,取规范正交基 v 1 , v 2 , , v n 。对于任意 i , j

ϕ ( π ( 1 ) π ( h ) ) ( v i v j ) = ϕ ( v i k = 1 n h k j v k ) = k = 1 n h k j ϕ ( v i v k ) = h i j 1 n ( v 1 v 1 + v 2 v 2 + + v n v n )

所以,

g G χ 1 ( g 1 ) χ 2 ( g h ) = | G | t r [ ϕ π 1 , π 2 ( π 1 ( 1 ) π 2 ( h ) ) ] = | G | n ( h 11 + h 22 + + h n n ) = | G | n χ (h)

定理3.7若 ( V 1 , π 1 ) , ( V 2 , π 2 ) K o r b ( · G ) ( V 1 , π 1 ) , ( V 2 , π 2 ) 不可约,则

( V 1 , π 1 ) · L ( V 2 , π 2 ) = { 0 , π 1 π 2 , | G | n ( V 1 , π 1 ) , π 1 = π 2 .

其中 n = dim V 1

证明:若 π 1 π 2 ,由于 g G χ 1 ( g 1 ) χ 2 ( g h ) = 0 ,则

( V 1 , π 1 ) · L ( V 2 , π 2 ) = φ 1 ( φ ( V 1 , π 1 ) · φ ( V 2 , π 2 ) ) = 0 .

π 1 = π 2 ,由于 g G χ 1 ( g 1 ) χ 2 ( g h ) = | G | n χ ( h ) ,则 ( V 1 , π 1 ) · L ( V 2 , π 2 ) = φ 1 ( | G | n χ ( h ) ) V h = | G | n ( V 1 , π 1 ) 。证毕

3.3. α-Twisted Orbifold K-理论的环结构 · L

对于 α -twisted orbifold K-理论 α K o r b ( · G ) 。根据 [5] ,存在线性同构

φ : α K o r b ( · G ) ( K ( G ) ) G α ,

( K ( G ) ) G α 上的乘法为:对任意 g G a g V g h G a h V h ( K ( G ) ) G α ( g G a g V g ) · ( h G a h V h ) = g , h G a g b h 1 α ( g , h ) V g h

因此 α K o r b ( · G ) 上的乘法为,对任意 ( V 1 , π 1 ) , ( V 2 , π 2 ) K α o r b ( · G )

( V 1 , π 1 ) · L ( V 2 , π 2 ) = φ 1 ( φ ( V 1 , π 1 ) · φ ( V 2 , π 2 ) ) = φ 1 [ ( g G χ 1 ( g ) V g ) ( g G χ 2 ( g ) V g ) ] = φ 1 [ h G ( g G χ 1 ( g 1 ) χ 2 ( g h ) 1 α ( g 1 , g h ) ) V h ]

其中,

g G χ 1 ( g 1 ) χ 2 ( g h ) 1 α ( g 1 , g h ) = g G t r π 1 ( g 1 ) t r π 2 ( g h ) 1 α ( g 1 , g h ) = g G t r ( α ( g , g 1 ) π 1 ( g ) ) t r ( 1 α ( g , h ) π 2 ( g ) π 2 ( h ) ) 1 α ( g 1 , g h ) = g G t r ( π 1 ( g ) ) t r ( π 2 ( g ) π 2 ( h ) ) α ( g , g 1 ) α ( g , h ) α ( g 1 , g h )

= g G t r ( π 1 ( g ) ) t r ( π 2 ( g ) π 2 ( h ) ) = g G t r [ ( π 1 ( g ) π 2 ( g ) ) ( π 1 ( 1 ) π 2 ( h ) ) ] = | G | t r [ ϕ π 1 , π 2 ( π 1 π 2 ( h ) ) ]

根据 [3] ,对于 α -twisted的情形,同样有

| G | t r [ ϕ π 1 , π 2 ( π 1 π 2 ( h ) ) ] = { 0 , π 1 π 2 , | G | n χ 1 ( h ) , π 1 = π 2 .

因此,我们有

定理3.8若 ( V 1 , π 1 ) , ( V 2 , π 2 ) 为不可约的 α -twisted G表示,则

( V 1 , π 1 ) · L ( V 2 , π 2 ) = { 0 , π 1 π 2 , | G | n ( V 1 , π 1 ) , π 1 = π 2 .

其中 n = dim V 1

证明:类似定理3.7。

文章引用: 林奕武 (2018) 点群胚的Orbifold K-理论。 理论数学, 8, 459-466. doi: 10.12677/PM.2018.84061

参考文献

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