量子行列式及相关问题研究
Study on Quantum Determinant and Related Problems

作者: 庄婉敏 , 叶丽霞 :浙江外国语学院数学系,浙江 杭州;

关键词: 量子行列式量子矩阵矩阵乘积广义量子行列式Quantum Determinant Quantum Matrix Matrix Product Generalized Quantum Determinant

摘要:
把普通矩阵乘积的行列式进行推广,得到量子矩阵乘积的量子行列式求法公式。定义了广义量子行列式,并构造了相应行列展开定理和矩阵乘积的广义量子行列式公式。

Abstract: IBy generalizing the determinant of the product of ordinary matrix, the quantum determinant formula for the product of two quantum matrices is obtained. The generalized quantum determi-nant is defined, and the corresponding row and column expansion theorem and the generalized quantum determinant for matrix product are constructed.

1. 引言

在数学和物理研究中,行列式和矩阵经常进行各种形变和推广。2000年,潘庆年 [1] 定义了量子行列式,并把经典行列式的一些性质推广到量子行列式。文献 [2] 给出了行列式乘法的一个推广公式。文献 [3] 利用行列式按一行展开的性质,定义了一般矩阵的广义行列式。文献 [4] 给出了矩阵乘积的广义行列式的一般公式。基于这些研究,本文将 [2] 的结果推广至量子行列式的情形。同时,进一步定义量子矩阵的广义量子行列式,并把 [3] [4] 的结果推广至广义量子行列式的情形,构造相应行列展开定理及矩阵乘积的广义量子行列式公式。

2. 有关定义

定义1 [1] 设A是特征为零的域k上的一个代数,A为A上一个方阵

A = ( a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a n 1 a n 2 a n n )

取定k上一个非零元q,定义A的量子行列式或q-行列式 | A | q 如下:

| A | q = σ S n ( q ) l ( σ ) a 1 σ ( 1 ) a 2 σ ( 2 ) a n σ ( n ) ,

其中 l ( σ ) 表示σ的长度,所谓σ的长度指当σ分解成对换的乘积时,有一种分解使它能包含对换的个数极小,这个极小个数就称为σ的长度。

定义2 [1] 代数A上一个n阶方阵

A = ( a 11 a 12 a 1 n a 21 a 22 a 2 n a n 1 a n 2 a n n )

称为n阶q-矩阵,如果对于任意的 i < j k < m

{ a i k a i m = q 1 a i m a i k , a i k a j k = q 1 a j k a i k , a i m a j k = a j k a i m , a i k a j m a j m a i k = ( q 1 q ) a i m a j k .

换句话说,如果A的每一个2阶子矩阵都是q-矩阵,则称A为q-矩阵。

文献 [3] 利用行列式按一行展开的性质,定义了一般矩阵的广义行列式,类似可定义量子矩阵的广义量子行列式如下。

定义3 若矩阵 A = ( a i j ) 是量子矩阵,定义其广义量子行列式 | A | q 如下:

若A是 1 × n ( n 1 ) 量子矩阵,则 | A | q = i = 1 n ( q ) 1 i a 1 i

若矩阵A为 2 × n ( n 2 ) 量子矩阵,则 | A | q = i = 1 n a 1 i A 1 ^ i ^ ,其中 A 1 ^ i ^ = ( q ) 1 i M 1 ^ i ^ M 1 ^ i ^ a 1 i 的余子式,即A中去掉第1行第i列后其他元素按原序组成的 1 × ( n 1 ) 矩阵的广义量子行列式;

若矩阵A为 m × n 量子矩阵,当 n m 时, | A | q = i = 1 n a 1 i A 1 ^ i ^ ,其中 A 1 ^ i ^ = ( q ) 1 i M 1 ^ i ^ M 1 ^ i ^ 是A中去掉第1行第i列后,其他元素按原序组成的 ( m 1 ) × ( n 1 ) 矩阵的广义量子行列式。当 m > n 时, | A | q = | A T | q

3. 主要结果

把经典行列式的倍加性质推广,可得量子行列式的相应性质如下。

定理1 设A是代数A上的n阶量子矩阵,若A中的第 i , i + 1 , , j 1 ( i < j ) 行和第 1 , 2 , , n 列组成的矩阵 A i , i + 1 , , j 1 1 , 2 , , n 中不同行不同列的元素乘积都可交换,且b是代数A的中心元,则把A中第i行的b倍加到第j行后,量子行列式不变。

证明 由定义1得,若 i < j ,把A中第i行的b倍加到第j行后的量子行列式展开为

b σ S n ( q ) l ( σ ) a 1 σ ( 1 ) a i σ ( i ) a i σ ( j ) a n σ ( n ) + σ S n ( q ) l ( σ ) a 1 σ ( 1 ) a j σ ( j ) a n σ ( n ) ,

考虑其一般项

( q ) l ( σ ) a 1 σ ( 1 ) a i σ ( i ) a i σ ( j ) a n σ ( n ) .

由条件得, ( q ) l ( σ ) a 1 σ ( 1 ) a i σ ( i ) a i σ ( j ) a n σ ( n ) = ( q ) l ( σ ) a 1 σ ( 1 ) a i σ ( i ) a i σ ( j ) a n σ ( n ) 相等。由定义2得, ( q ) l ( σ ) a 1 σ ( 1 ) a i σ ( i ) a i σ ( j ) a n σ ( n ) ( q ) l ( σ ) 1 a 1 σ ( 1 ) a i σ ( i ) a i σ ( j ) a n σ ( n ) 能成对抵消,则量子行列式不变,结论成立。

文献 [2] 的定理2把行列式乘法公式 | A X | = | A | | X | 推广,得到了更一般的结果。实际上,若把这个结果放到量子行列式上讨论,结论在一定条件下仍成立。

定理2 设矩阵 A = ( a 11 a 1 n a m 1 a m n ) B = ( b 11 b 1 n b m 1 b m n ) 是代数A上的量子矩阵,且矩阵A与B的元素可交换,设 d i j = a i 1 b j 1 + a i 2 b j 2 + + a i n b j n ( i , j = 1 , 2 , , n ) ,作一个m阶量子行列式 D = | d 11 d 1 m d m 1 d m m | q ,则当 m n 时, D = 1 i 1 < < i m n A i 1 i 2 i m B i 1 i 2 i m ,其中 A i 1 i 2 i m = | a 1 i 1 a 1 i m a m i 1 a m i m | q B i 1 i 2 i m = | b 1 i 1 b 1 i m b m i 1 b m i m | q ;当 m > n 时, D = 0

证明 为方便起见,只证明 m = 2 时的情形,当 m > 2 时,证明过程类似。

设A与B为 2 × n 矩阵且A与B的元素可交换, D = | d 11 d 12 d 21 d 22 | q 。若 n < 2 ,由定义1,2易得 D = a 11 b 11 a 21 b 21 q 1 a 11 b 21 a 21 b 11 = 0 。若 n 2 ,对列数n作数学归纳法。

n = 2 时,由定义1及定义2得,

1 i 1 < i 2 n A i 1 i 2 B i 1 i 2 = a 11 a 22 b 11 b 22 + a 12 a 21 b 12 b 21 q 1 a 11 a 22 b 12 b 21 q 1 a 12 a 21 b 22 b 11 = D .

假设当 n = k ( k > 2 ) 时,命题成立,即

D = | a 11 b 11 + + a 1 k b 1 k a 11 b 21 + + a 1 k b 2 k a 21 b 11 + + a 2 k b 1 k a 21 b 21 + + a 2 k b 2 k | q = 1 i 1 < i 2 k A i 1 i 2 B i 1 i 2 .

则当 n = k + 1 时,

D = | ( a 11 b 11 + + a 1 k b 1 k ) + a 1 k + 1 b 1 k + 1 ( a 11 b 21 + + a 1 k b 2 k ) + a 1 k + 1 b 2 k + 1 ( a 21 b 11 + + a 2 k b 1 k ) + a 2 k + 1 b 1 k + 1 ( a 21 b 21 + + a 2 k b 2 k ) + a 2 k + 1 b 2 k + 1 | q = | a 11 b 11 + + a 1 k b 1 k a 11 b 21 + + a 1 k b 2 k a 21 b 11 + + a 2 k b 1 k a 21 b 21 + + a 2 k b 2 k | q + | a 11 b 11 + + a 1 k b 1 k a 1 k + 1 b 2 k + 1 a 21 b 11 + + a 2 k b 1 k a 2 k + 1 b 2 k + 1 | q + | a 1 k + 1 b 1 k + 1 a 11 b 21 + + a 1 k b 2 k a 2 k + 1 b 1 k + 1 a 21 b 21 + + a 2 k b 2 k | q + | a 1 k + 1 b 1 k + 1 a 1 k + 1 b 2 k + 1 a 2 k + 1 b 1 k + 1 a 2 k + 1 b 2 k + 1 | q = 1 i 1 < i 2 k A i 1 i 2 B i 1 i 2 + A 1 k + 1 B 1 k + 1 + + A k k + 1 B k k + 1 = 1 i 1 < i 2 k + 1 A i 1 i 2 B i 1 i 2

故结论成立。

文献 [3] 的命题1给出了广义行列式的展开式,文献 [4] 进一步得出矩阵乘积的广义行列式。本文将这些结果推广至广义量子行列式情形,得定理3、4及推论1。

定理3 设矩阵A是代数A上的 m × n ( n m ) 量子矩阵,则A的广义量子行列式为

| A | q = 1 i 1 < < i m n ( q ) l ( σ ) [ i 1 + i 2 + + i m m ( m + 1 ) 2 ] a 1 i σ ( 1 ) a 2 i σ ( 2 ) a m i σ ( m ) ,

其中 σ S m

证明 对矩阵A的行数m作数学归纳法。

m = 1 时,由定义3, | A | q = i = 1 n ( q ) 1 i a 1 i ,结论成立。

假设矩阵A的行数小于m时,结论成立。则当行数为m时,由定义3, | A | q = i = 1 n a 1 i A 1 ^ i ^ 且对任意的 1 i 1 n a 1 i 1 A 1 ^ i ^ 1 = ( q ) 1 i 1 a 1 i 1 M 1 ^ i ^ 1 ,结合定义1得,

a 1 i 1 A 1 ^ i ^ 1 = ( q ) 1 i 1 a 1 i 1 1 i 2 < < i m n ( q ) l ( σ ( 2 ) , , σ ( m ) ) [ i 2 + + i m m ( m 1 ) 2 ( m 1 m 1 ) ] a 2 i σ ( 2 ) a m i σ ( m ) = 1 i 2 < < i m n ( q ) l ( σ ) [ i 1 + i 2 + + i m m ( m + 1 ) 2 + m 1 ] a 1 i 1 a 2 i σ ( 2 ) a m i σ ( m ) ,

其中 σ S m i 2 , , i m i 1 i σ ( 1 ) = i 1 m 1 i 2 , i 3 , , i m 中小于 i 1 的个数,则

| A | q = i = 1 n a 1 i A 1 ^ i ^ = 1 i 1 < < i m n ( q ) l ( σ ) [ i 1 + i 2 + + i m m ( m + 1 ) 2 ] a 1 i σ ( 1 ) a 2 i σ ( 2 ) a m i σ ( m ) .

由定理3易得以下推论成立。

推论1 设矩阵A是代数A上的 m × n ( n m ) 量子矩阵,则A的广义量子行列式为

| A | q = 1 i 1 < < i m n ( q ) [ i 1 + i 2 + + i m m ( m + 1 ) 2 ] M i 1 i 2 i m ,

其中 M i 1 i 2 i m 是A的第 1 , 2 , , m 行和第 i 1 , i 2 , , i m 列组成的m阶矩阵的量子行列式。

定理4若 A = ( a i j ) m n 为代数A上 m × n ( m < n ) 量子矩阵, B = ( b i j ) n s 为代数A上 n × s ( m < s ) 量子矩阵,则乘积AB的广义量子行列式为

| A B | q = 1 i 1 < < i m s ( q ) [ i 1 + i 2 + + i m m ( m + 1 ) 2 ] | A B i 1 i 2 i m | q ,

其中 i 1 i 2 i m 1 ~ s 中m个元素按自然顺序组成的m级排列, B i 1 i 2 i m 为B中第 i 1 , i 2 , , i m 列构成的 n × m 子矩阵。

证明 由推论1知,

| A B | q = 1 i 1 < < i m n ( q ) [ i 1 + i 2 + + i m m ( m + 1 ) 2 ] M i 1 i 2 i m ,

其中 M i 1 i 2 i m 为乘积AB的第 1 , 2 , , m 行和第 i 1 , i 2 , , i m 列组成的m阶矩阵的量子行列式。由矩阵乘法的定义得 M i 1 i 2 i m = | A B i 1 i 2 i m | q ,则结论成立。

NOTES

*通讯作者。

文章引用: 庄婉敏 , 叶丽霞 (2018) 量子行列式及相关问题研究。 理论数学, 8, 340-344. doi: 10.12677/PM.2018.84045

参考文献

[1] 潘庆年. q-行列式及其性质[J]. 数学的实践与认识, 2000, 30(3): 358-362.

[2] 孙杰, 孙多. 行列式乘法的推广及应用[J]. 扬州教育学院学报, 2000(3): 76-77.

[3] 王立志. 一般矩阵的广义行列式[J]. 山西大学学报(自然科学版), 1995(3): 254-258.

[4] 郭忠海, 王立志. 关于矩阵乘积的广义行列式[J]. 忻州师范学院学报, 2003, 19(2): 46-48.

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