α-Fock空间Fα2 上的测不准原理
Uncertainty Principle for the α-Fock Space Fα2

作者: 潘维烨 * , 杨丛丽 , 赵 健 :贵州师范大学数学科学学院,贵州 贵阳;

关键词: &alpha-Fock空间测不准原理量子力学Gaussian测度自伴算子&alpha-Fock Space Uncertainty Principle Quantum Physics Gaussian Measures Self-Adjiont Operators

摘要:
本文主要是引入一个参数α ( α>0),将Fock空间F2 上的关于两个自伴算子的测不准原理推广到α-Fock空间Fα2 上,并对a,b 为任意复数的情形做了完善的证明。

Abstract: In this paper, we mainly introduce a positive parameter α and results about uncertainty principle of two self-adjoint operators for the Fock Space F2 are generalized to the α-Fock Space 2 in the complex plane. In particular, we also do a perfect proof for the case of a,b which are complex parameters.

1. 引言

海森堡测不准原理是量子力学的一个重要基本原理,它指出在一个量子力学系统中,一个粒子的位置和它的动量不可被同时确定。位置的不确定性 Δ x 和动量的不确定性 Δ p 一定满足不等式 Δ x Δ p h / 2 ,其中 h 是约化普朗克常数。类似的不确定性也存在于能量和时间、角动量和角度等许多物理量之间。因此在Fock空间及其推广的a-Fock空间上研究测不准原理是有意义的。早在文献 [1] 和文献 [2] 中作者就给出了Hilbert空间上的几种测不准原理形式,本文主要是将文献 [3] 的结果进行推广和完善。更多关于测不准原理的结果,感兴趣的读者可以查阅文献 [4] - [11] 。值得一提的是,由于参数 α 的引入,本文的计算结果相对文献 [3] 更为复杂,且当 α = 1 时包含 [3] 中的所有结果。

下面对本文所用到的符号加以说明:

为一维复平面, 为一维实平面,对任意的正实参数 α ,我们定义:

d λ α ( z ) = α π e α | z | 2 d A (z)

上的Gaussian测度,其中 d A = d x d y 上的Lebesgue面积测度。

定义a-Fock空间 F α 2 为:

F α 2 = L 2 ( , d λ α ) H (ℂ)

其中 H ( ) 上整函数全体。显然 F α 2 L 2 ( , d λ α ) 的闭子空间,因此 F α 2 是Hilbert空间,其上的內积和范数分别定义为:

f , g = f ( z ) g ( z ) ¯ d λ α ( z ) (1.1)

f 2 , α = ( | f ( z ) | 2 d λ α ( z ) ) 1 2 (1.2)

注:本文的所有结果都是在复平面 上讨论的,下文不再作说明。

2. 相关引理及主要结果

文献 [1] 中给出了一个泛函分析里的关于Hilbert空间 H 上的两个自伴算子测不准原理的一般性结果:

定理1:设 A B 为Hilbert空间 H 上的可能无界的自伴算子,则对于任意的 f D o m ( A B ) D o m ( B A ) 和任意 a , b

( A a ) f ( B b ) f 1 2 | [ A , B ] f , f | (2.1)

其中 [ A , B ] = A B B A A B 的换位子。等式成立当且仅当 ( A a ) f ( B b ) f 相差一个纯虚数倍。

证明:详见 [1] 第27页。

在文献 [3] 中,陈泳和朱克和两位教授将定理1与海森堡测不准原理结合起来,得到了Fock空间 F 2 中的两个自伴算子的测不准原理。

定理2:令 f F 2 ,则对所有 a , b

f + z f a f f z f + i b f f 2

等式成立当且仅当存在正实数 c 和复数 C 1 使得

f ( z ) = C 1 exp ( c 1 2 ( c + 1 ) z 2 + a i b c c + 1 z )

证明:详见 [3] 中定理4的证明。

定理2中主要讨论了空间 F 2 上的由甄灭算子和产生算子构造的两个自伴算子,而这在 F α 2 上不再适用,因为在 F α 2 中,甄灭算子的对偶算子不再是产生算子了,稍作改变,我们得到:

引理1:对任意的 α > 0 ,令 T : F α 2 F α 2 为微分算子的常数倍,即 T f = 1 α f 。则其对偶算子 T * ( T * f ) ( z ) = z f ( z )

证明:设 F α 2 中的标准正交基为

e n ( z ) = α n n ! z n , n = 0 , 1 , 2 ,

可设 F α 2 中稠密的两个多项式分别为

f = n = 0 a n e n , g = n = 0 b n e n

T f ( z ) = 1 α d d z n = 0 a n α n n ! z n = 1 α n = 1 a n α n n ! n z n 1 = n = 0 1 α n + 1 a n + 1 e n (z)

另外

z g ( z ) = n = 0 b n α n n ! z n + 1 = n = 1 b n 1 α n 1 ( n 1 ) ! z n = n = 1 n α b n 1 e n (z)

于是

T f , g = n = 0 1 α n + 1 a n + 1 b ¯ n = n = 1 a n n α b n 1 ¯ = f , z g = f , T * g

证毕。

从定理1我们知道,如果有两个自伴算子 A B 使得 [ A , B ] 为恒等算子的常数倍,则可得到测不准原理。故我们考虑利用引理1中的算子 T T * 来构造这样两个自伴算子。

直接计算可知,对所有 f F α 2 有:

[ T , T * ] f = ( T T * T * T ) f = ( z f ) α z f α = f α

因此我们考虑 F α 2 上的如下两个自伴算子:

A = T + T * , B = i ( T T * )

A f ( z ) = 1 α f ( z ) + z f ( z ) , B f ( z ) = i ( 1 α f ( z ) z f ( z ) ) (2.2)

由 [1] 知,若 1 α f F α 2 ,则 A f B f 的定义都是合理的,若 1 α f + z f 1 α f z f 都属于 F α 2 ,则 1 α f z f 显然也都在 F α 2 中,于是 A B 的定义域的交集包含那些使得 1 α f (或 z f )仍旧在 F α 2 中的 f 。对 A B B A 及他们定义域的交,同样确定为算子 A B 的定义域的交集。

引理2:对任意的 α > 0 ,对上述定义的自伴算子 A B ,有 [ A , B ] = 2 α i I ,其中 I F α 2 上的恒等算子, i 为虚数单位。

证明:对所有 f F α 2 ,由(2.2)式可得

A B B A = i [ ( T + T * ) ( T T * ) ( T T * ) ( T + T * ) ] = 2 i [ T * T T T * ] = 2 α i I

证毕。

下面将给出a-Fock空间 F α 2 上的第一个测不准原理形式。

定理3:对任意的 α > 0 ,令 f F α 2 ,则对所有 a , b

1 α f + z f a f 2 , α 1 α f z f + i b f 2 , α 1 α f 2 , α 2 (2.3)

等式成立当且仅当存在正实数 c 和复数 C 使得

f ( z ) = C exp ( α ( c 1 ) 2 ( c + 1 ) z 2 + α ( a i b c ) c + 1 z )

证明:因为 a , b ,则由定理1可知

( A a ) f 2 , α ( B b ) f 2 , α 1 2 | [ A , B ] f , f |

又因为

i ( 1 α f z f ) b f 2 , α = 1 α f z f + i b f 2 , α

结合引理2可得

1 α f + z f a f 2 , α 1 α f z f + i b f 2 , α 1 α f 2 , α 2

另外,由定理1可知(2.3)中等式成立当且仅当存在正实数 c 使得

1 α f + z f a f = i c [ i ( 1 α f z f ) b f ] (2.4)

i ( 1 α f z f ) b f = i c ( 1 α f + z f a f ) (2.5)

这里,我们先计算(2.4)式有:

(2.6)

1) 若,则(2.6)只有解这一零解。

2) 若,(2.6)式可变形为,则由解常微分方程的初等方法可得(2.6)的一般解为

(2.7)

其中为任意复常数。

由 [1] (第38页)知每个则必满足

(2.8)

因此函数(2.7)在空间中的一个充要条件是。由于是实数,后者等价于。而当时,此时函数(2.7)为

,其中,由(2.8)式知其等价于

对(2.5)式,同理可以讨论,证毕。

为了给出上的测不准原理的其他形式,我们还需对函数(2.7)进行一些相关的计算。

由定理3我们知道函数(2.7)在空间中的充要条件为,当时,我们可以对函数(2.7)进行一些相关的计算,如范数、內积等,这些计算结果都将在下文推论中用到。由于,为了计算的简便,我们可将函数(2.7)的系数去掉,得到下面一个与函数(2.7)相差复常数倍但形式更简单的函数。即

(2.9)

显然,其中。最后,我们只需将函数(2.9)的相应计算结果代入系数即可。

为了方便书写,我们将函数(2.9)简记为

(2.10)

其中

(2.11)

由于,则

我们令,其中。给出相应计算如下:

1) 对函数(2.9)计算如下:

由(1.2)、(2.10)式得:

(2.12)

因为

则进一步计算(2.12)得:

其中

(2.13)

因为

(2.14)

(2.15)

最后联立(2.11)、(2.13)和(2.15)式得:

(2.16)

2) 对函数(2.9)直接计算如下:

由(1.1)式和(1)的计算过程可得:

先计算得:

因为

于是

(2.17)

同理

(2.18)

最后联立(2.11)、(2.17)和(2.18)式有

(2.19)

3) 对函数(2.9)直接计算如下:

由(1.2)式和(2)的计算过程可得:

先计算得:

因为

进一步计算得:

因为

综上

(2.20)

同理

(2.21)

联立(2.11)、(2.20)和(2.21)式得:

(2.22)

4) 对函数(2.9)直接计算如下:

因为

同理

由(2.11)、(2.19)和(2.22)得

(2.23)

同理

(2.24)

5) 对函数(2.9)直接计算如下:

由(2.23)和(2.24)直接计算可得:

(2.25)

(2.26)

6) 对函数(2.9)直接计算如下:

因为

所以由(2.16)、(2.19)式有:

(2.27)

同理

(2.28)

直接计算可验证,当时,以上所有结果就是中相应的结果。

7) 最后给出最小值讨论。

对任意的,固定为自伴算子,则对任意,有

即可得

(2.29)

其中等号成立当且仅当

同理

(2.30)

且最小值当时取得。

中的单位向量,即时,可得到如下测不准原理的第一个推论:

推论1对任意的,令中的单位向量,则对所有

等式成立当且仅当

(2.31)

其中为正实数,为复数且

(2.32)

证明:由(2.16)式可得函数(2.31)的范数为:

因为,直接计算得:

又因为中的单位向量,则由定理3得:

结合(2.29)和(2.30)对最小值的讨论得:

下面给出等号成立情形的详细证明:

1) 若不具有(2.31)的形式,则由定理3可知对任意

特别的我们令:

则由最小值讨论可得:

此时等号不成立。

2) 若具有(2.31)的形式,为区别开来我们记为,则由定理3可知

(2.33)

利用(2.27)和(2.28)直接计算内积可以得到

即当时,结合(2.29)、(2.30)式关于最小值问题的讨论可得

即不等式等号成立,证毕。

推论2:若,则对任意

等号成立当且仅当存在正实数和复数使得

(2.34)

证明:在定理3中令即可,证毕。

推论3:若,对任意

其中,且。等号成立当且仅当存在正实数和复数使得

证明:由推论2可得

等号成立当且仅当为形如(2.34)且

由(2.25)、(2.26)式及知此等价于

证毕。

除了以上几种测不准原理的推论形式外,我们还可以给出一些关于角和距离的几何形式的测不准原理如下:

推论4:对任意的,令中任何非零函数,分别为之间的夹角,则对所有

等式成立当且仅当

其中为正实数,为任意非零复数。

证明:由于

(2.35)

(2.36)

则由推论1知结论成立,证毕。

联立(2.35)、(2.36)、(2.23)、(2.24)、(2.27)、(2.28)式可分别计算得:

由此可求出此时两夹角的大小。

推论5:对任意的,令中单位向量,则对任意

等号成立当且仅当形如(2.31)且

证明:由推论4得

再由推论3的证明方法有

等号成立当且仅当为形如(2.31)的函数且

由(2.25)、(2.26)式知此等价于

证毕。

推论6:对任意的,令中单位向量,则

等成立当且仅当形如(2.31)且

证明:由推论5中取即得结论。证毕。

推论7:对任意的,令中的非零向量,则对所有

其中张成的一维子空间,的距离。等式成立当且仅当

其中为正实数,为非零复数。

证明:因为

同理,则结论由推论4直接可得,证毕。

注:上述结论中的函数并不一定都属于,当不属于中时,上面所有结论中的每个不等式右边均为无穷大,综上,不等式总是成立的。

3. 复参变量下的测不准原理及其推广

注意到上面所讨论的测不准原理中均为实参量,下面对为复参量的情形做一个简单的讨论:

定理4:对任意的,令,则对所有

(3.1)

等式成立当且仅当为实数且存在正实数和复数使得

证明:记,其中,则

同理记,其中,则,于是由定理3可知本定理成立,证毕。

以上所有结果均是对中的两个特殊的自伴算子讨论的,事实上,将自伴算子一般化,以上结论均可成立。

定理5:对任意的,设上的算子且满足,其中的对偶算子,是任意正实参数。则对所有,有

等号成立当且仅当相差纯虚数倍。

证明:同定理3的证法一致,证毕。

定理6:对任意的,设上的算子且满足,其中的对偶算子,是任意正实参数。则对所有,有

等号成立当且仅当相差纯虚数倍。

证明:同定理4的证法一致,证毕。

NOTES

*通讯作者。

文章引用: 潘维烨 , 杨丛丽 , 赵 健 (2018) α-Fock空间Fα2 上的测不准原理。 理论数学, 8, 149-163. doi: 10.12677/PM.2018.82019

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