N-Cell模糊数上的近似大于等于关系
Approximately Greater Than or Equal Relation on Fuzzy N-Cell Numbers

作者: 刘晓芬 , 黄 欢 :集美大学数学系,福建 厦门;

关键词: 近似大于等于N-Cell模糊数模糊数Approximately Greater Than or Equal Fuzzy N-Cell Numbers Fuzzy Numbers

摘要:
本文给出n-cell模糊数近似大于等于关系的定义,并对近似大于等于关系的性质进行了详细的研究,重点讨论了这一关系在加、减、乘、除和数乘下的变化。

Abstract: In this paper, we introduce the approximately greater than or equal relation on fuzzy n-cell num-bers and investigate its properties. We focus on the variation of this relationship under addition, subtraction, multiplication, division and scalar-multiplication.

1. 引言

在决策中,影响决策对象的因素常具有模糊性。为了对模糊决策对象进行排序,迫切需要考虑模糊数上的近似大于、近似等于以及近似大于等于等基本关系。

Buckley [1] [2] 率先提出了一维模糊数近似大于、近似等于以及近似大于等于关系的概念,并将其应用于具有模糊性决策对象的排序中。吴望名在 [3] 中提出了一维模糊数相容的概念。王绪柱在 [4] 中针对Buckley在文 [1] 中提出的近似相等关系给出了易于判定的充要条件,并讨论了一维模糊数近似相等的性质。但是,在实际应用中,一维模糊数往往无法满足需求。因此,王桂祥、吴从炘在 [5] 中提出了n-cell模糊数的概念,n-cell模糊数是一种特殊的n维模糊数,同时也是对一维模糊数的推广。王桂祥及其团队 [5] [6] 将n-cell模糊数应用于分类、模式识别、信息融合等领域中,受到了广泛的关注,因此,讨论n-cell模糊数上的近似大于等于关系也是非常重要的。

本文引入了n-cell模糊数上的近似大于等于关系,并详细讨论了这一关系的性质,我们的结论对n-cell模糊数排序问题的相关理论和应用有着重要的意义。

2. 预备知识

本节介绍了n维模糊数和n-cell模糊数的基本概念和性质,以及n-cell模糊数的代数运算,详细内容请读者参阅文献 [7] [8] [9] [10] 。

设u是 R n 上的模糊集,u可看作 R n [ 0 , 1 ] 的函数。任取 α [ 0 , 1 ] ,我们称 [ u ] α 是u的a-截集,当 α > 0 [ u ] α = { x R n | u ( x ) α } ,当 α = 0 [ u ] 0 = { x R n | u ( x ) > 0 } ¯ [ u ] 0 也称为u的支集,记作suppu。

u : R n [ 0 , 1 ] 满足以下性质(1)-(4):

1) u是正规的模糊集,即存在 x 0 R n 使得 u ( x 0 ) = 1

2) u是凸模糊集,即对任意 x , y R n , λ [ 0 , 1 ] u ( λ x + ( 1 λ ) y ) min { u ( x ) , u ( y ) }

3) u是上半连续函数,即 lim sup x x 0 u ( x ) u ( x 0 )

4) [ u ] 0 有界。

则称u为n维模糊数,全体n维模糊数记作 E n

a 表示 R n 中的点 ( a , a , , a ) ,用表示模糊集 a ^ : R n [ 0 , 1 ] a ^ ( x ) = { 0 , x a , 1 , x = a . 在不引起混淆的情况下,我们也用 a 表示 a ^ ,此时对任意的 α [ 0 , 1 ] [ a ] α = { a }

王桂祥在 [5] 中引入了n-cell模糊数的概念:设 u E n ,若对任意 α [ 0 , 1 ] [ u ] α = i = 1 n [ u i ( α ) , u i + ( α ) ] ,其中 u i ( α ) , u i + ( α ) R u i ( α ) u i + ( α ) , i = 1 , 2 , , n ,则称u是n-cell模糊数。记 L ( E n ) R n 上全体n-cell模糊数,显然 L ( E n ) E n ,且 L ( E n ) E n

u L ( E n ) ,若 u i ( 0 ) > 0 , i = 1 , 2 , , n ,则称u为正n-cell模糊数;若 u i + ( 0 ) < 0 i = 1 , 2 , , n ,则称u为负n-cell模糊数。

N-cell模糊数的代数运算如下:对任意 u , v L ( E n ) , k R , α [ 0 , 1 ] ,有:

[ u + v ] α = [ u ] α + [ v ] α = i = 1 n [ u i ( α ) + v i ( α ) , u i + ( α ) + v i + ( α ) ] ,

[ u v ] α = [ u ] α [ v ] α = i = 1 n [ u i ( α ) v i + ( α ) , u i + ( α ) v i ( α ) ] ,

[ k u ] α = k [ u ] α = { i = 1 n [ k u i ( α ) , k u i + ( α ) ] , k 0 , i = 1 n [ k u i + ( α ) , k u i ( α ) ] , k 0 ,

[ u v ] α = i = 1 n [ min { u i ( α ) v i ( α ) , u i ( α ) v i + ( α ) , u i + ( α ) v i ( α ) , u i + ( α ) v i + ( α ) } , max { u i ( α ) v i ( α ) , u i ( α ) v i + ( α ) , u i + ( α ) v i ( α ) , u i + ( α ) v i + ( α ) } ] ,

[ u v ] α = [ min { u i ( α ) v i ( α ) , u i ( α ) v i + ( α ) , u i + ( α ) v i ( α ) , u i + ( α ) v i + ( α ) } , max { u i ( α ) v i ( α ) , u i ( α ) v i + ( α ) , u i + ( α ) v i ( α ) , u i + ( α ) v i + ( α ) } ] (其中 v 为正n-cell模糊数或负n-cell模糊数)。

容易看出 u v = u + ( v )

Buckley在 [1] 中给出了一维模糊数近似大于等于关系的概念:

对任意两个模糊数 u , v E 1 ,任取 α ( 0 , 1 ] ,定义 ν ( u v ) = sup x y min ( u ( x ) , v ( y ) )

1) 若 ν ( u v ) = 1 ν ( v u ) < α ,则称 u α 水平下近似大于 v ,记为 u α v v α u

2) 若 min ( ν ( u v ) , ν ( v u ) ) α ,则称 u v α 水平下近似相等,记为 u α v

3) 若 u α v u α v ,则称 u α 水平下近似大于等于 v ,记为 u α v v α u

3. N-Cell模糊数上近似大于等于关系的性质

本节将引入n-cell模糊数上的近似大于等于关系,并探讨该关系在加、减、乘、除以及数乘运算下的变化。

定义3.1:设 u , v L ( E n ) α ( 0 , 1 ] ,若 u i + ( α ) v i ( α ) , i = 1 , 2 , , n ,则称 u α 水平下近似大于等于 v ,记作 u α v v α u

性质1:设 u , v L ( E n ) α ( 0 , 1 ] 。若 u α v ,则 u v α 0

证明:由于

[ u v ] α = i = 1 n [ u i ( α ) v i + ( α ) , u i + ( α ) v i ( α ) ]

u α v 知: u i + ( α ) v i ( α ) , i = 1 , 2 , , n 。则

( u v ) i + ( α ) = u i + ( α ) v i ( α ) 0 = 0 i ( α ) , i = 1 , 2 , , n

所以, u v α 0

性质2:设 u , v L ( E n ) α ( 0 , 1 ] 。若 u α v ,则

1) 若 v 为正,则 u v a 1

2) 若 v 为负,则 u v a 1

证明:(1) 因为 v 为正,则 v i ( α ) > 0 , i = 1 , 2 , , n 。所以,

[ u v ] α = i = 1 n [ min { u i ( α ) v i ( α ) , u i ( α ) v i + ( α ) } , max { u i + ( α ) v i ( α ) , u i + ( α ) v i + ( α ) } ]

u α v 知: u i + ( α ) v i ( α ) , i = 1 , 2 , , n 。则

u i + ( α ) v i ( α ) 1 = 1 i ( α ) , i = 1 , 2 , , n

因此,

( u v ) i + ( α ) = max { u i + ( α ) v i ( α ) , u i + ( α ) v i + ( α ) } u i + ( α ) v i ( α ) 1 i ( α ) , i = 1 , 2 , , n

所以, u v a 1

(2)证明与(1)类似。

性质3:设 u , v L ( E n ) α ( 0 , 1 ] 。若 u α v ,则对任意 ω L ( E n )

1) u + ω α v + ω

2) u ω α v ω

证明:(1)由于

[ u + ω ] α = i = 1 n [ u i ( α ) + ω i ( α ) , u i + ( α ) + ω i + ( α ) ]

[ v + ω ] α = i = 1 n [ v i ( α ) + ω i ( α ) , v i + ( α ) + ω i + ( α ) ]

u α v 知: u i + ( α ) v i ( α ) , i = 1 , 2 , , n 。则

u i + ( α ) + ω i + ( α ) v i ( α ) + ω i + ( α ) v i ( α ) + ω i ( α ) , i = 1 , 2 , , n

因此,

( u + ω ) i + ( α ) ( v + ω ) i ( α ) , i = 1 , 2 , , n

所以, u + ω α v + ω

(2)由于 u ω = u + ( ω ) ,结论可从(1)推出。

性质4:设 u , v L ( E n ) α ( 0 , 1 ] 。若 u α v ,则对任意 ω L ( E n )

1) 若 ω 为正,则 u ω α v ω

2) 若 ω 为负,则 v ω α u ω

证明:(1)因为 ω 为正,则 ω i ( α ) > 0 , i = 1 , 2 , , n 。所以,

[ u ω ] α = i = 1 n [ min { u i ( α ) ω i ( α ) , u i ( α ) ω i + ( α ) } , max { u i + ( α ) ω i ( α ) , u i + ( α ) ω i + ( α ) } ]

[ v ω ] α = i = 1 n [ min { v i ( α ) ω i ( α ) , v i ( α ) ω i + ( α ) } , max { v i + ( α ) ω i ( α ) , v i + ( α ) ω i + ( α ) } ]

u α v 知: u i + ( α ) v i ( α ) , i = 1 , 2 , , n 。则

u i + ( α ) ω i + ( α ) v i ( α ) ω i + ( α ) , i = 1 , 2 , , n

因此,

max { u i + ( α ) ω i ( α ) , u i + ( α ) ω i + ( α ) } min { v i ( α ) ω i ( α ) , v i ( α ) ω i + ( α ) } , i = 1 , 2 , , n

即,

( u ω ) i + ( α ) ( v ω ) i ( α ) , i = 1 , 2 , , n

所以, u ω α v ω

(2)证明与(1)类似。

性质5:设 u , v , ω L ( E n ) α ( 0 , 1 ] 。若 u α v ,则

1) 若 ω 为正,则 u ω α v ω

2) 若 ω 为负,则 v ω α u ω

证明:1) 因为 ω 为正,则 ω i ( α ) > 0 , i = 1 , 2 , , n 。所以,

[ u ω ] α = i = 1 n [ min { u i ( α ) ω i ( α ) , u i ( α ) ω i + ( α ) } , max { u i + ( α ) ω i ( α ) , u i + ( α ) ω i + ( α ) } ]

[ v ω ] α = i = 1 n [ min { v i ( α ) ω i ( α ) , v i ( α ) ω i + ( α ) } , max { v i + ( α ) ω i ( α ) , v i + ( α ) ω i + ( α ) } ]

u α v 知: u i + ( α ) v i ( α ) , i = 1 , 2 , , n 。则

u i + ( α ) ω i + ( α ) v i ( α ) ω i + ( α ) , i = 1 , 2 , , n

因此,

max { u i + ( α ) ω i ( α ) , u i + ( α ) ω i + ( α ) } min { v i ( α ) ω i ( α ) , v i ( α ) ω i + ( α ) } , i = 1 , 2 , , n

即,

( u ω ) i + ( α ) ( v ω ) i ( α ) , i = 1 , 2 , , n

所以, u ω α v ω

(2)证明与(1)类似。

性质6:设 u , v , ω L ( E n ) α ( 0 , 1 ] 。若 u v α ω ,则

1) 若 v 为正,则 u α ω v

2) 若 v 为负,则 ω v α u

证明:(1)因为 v 为正,则 v i ( α ) > 0 , i = 1 , 2 , , n 。所以,

[ u v ] α = i = 1 n [ min { u i ( α ) v i ( α ) , u i ( α ) v i + ( α ) } , max { u i + ( α ) v i ( α ) , u i + ( α ) v i + ( α ) } ]

[ ω v ] α = i = 1 n [ min { ω i ( α ) v i ( α ) , ω i ( α ) v i + ( α ) } , max { ω i + ( α ) v i ( α ) , ω i + ( α ) v i + ( α ) } ]

u v α ω 知:

max { u i + ( α ) v i ( α ) , u i + ( α ) v i + ( α ) } ω i ( α ) , i = 1 , 2 , , n

因此,

u i + ( α ) min { ω i ( α ) v i ( α ) , ω i ( α ) v i + ( α ) } = ( ω v ) i ( α ) , i = 1 , 2 , , n

所以, u α ω v

(2)证明与(1)类似。

性质7:设 u , v L ( E n ) α ( 0 , 1 ] 。若 u α v ,则对任意 k R

1) 若 k > 0 ,则 k u α k v

2) 若,则 k v α k u

证明:1) 因为 k > 0 ,所以,

[ k u ] α = i = 1 n [ k u i ( α ) , k u i + ( α ) ]

[ k v ] α = i = 1 n [ k v i ( α ) , k v i + ( α ) ]

u α v 知: u i + ( α ) v i ( α ) , i = 1 , 2 , , n 。则

k u i + ( α ) k v i ( α ) , i = 1 , 2 , , n

因此,

( k u ) i + ( α ) ( k v ) i ( α ) , i = 1 , 2 , , n

所以, k u α k v

(2)证明与(1)类似。

性质8:设 u , v L ( E n ) α ( 0 , 1 ] k R 。若 k u α v ,则

1) 若 k > 0 ,则 u α v k

2) 若 k < 0 ,则 v k α u

证明:(1)因为 k > 0 ,所以,

[ k u ] α = i = 1 n [ k u i ( α ) , k u i + ( α ) ]

[ v k ] α = i = 1 n [ v i ( α ) k v i + ( α ) k ]

k u α v 知:

k u i + ( α ) v i ( α ) , i = 1 , 2 , , n

因此,

u i + ( α ) v i ( α ) k = ( v k ) i ( α ) , i = 1 , 2 , , n

所以, u α v k

(2)证明与(1)类似。

基金项目

福建省自然科学基金(No. 2016J01022)。

文章引用: 刘晓芬 , 黄 欢 (2018) N-Cell模糊数上的近似大于等于关系。 应用数学进展, 7, 224-230. doi: 10.12677/AAM.2018.72027

参考文献

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