i阶Lp对偶仿射表面积
The i th Lp Dual Affine Surface Area

作者: 张 蕊 :西北师范大学数学与统计学院,甘肃 兰州; 马统一 :河西学院数学与统计学院,甘肃 张掖;

关键词: Lp仿射表面积Lp对偶仿射表面积i阶Lp对偶表面积Brunn-Minkowski-Firey理论i阶Lp对偶仿射表面积Lp Affine Surface Area Lp Dual Affine Surface Area i-th Lp Affine Surface area Brunn-Minkowski-Firey Theory i-th Lp Dual Affine Surface Area

摘要:
Ludwig根据Lp混合体积的定义引进了Lp仿射表面积的概念,随后汪和何定义了Lp仿射对偶仿射表面积。近年,马统一引进了i阶Lp仿射表面积,本文介绍了的i阶Lp对偶仿射表面积的定义并且利用Brunn-Minowski-Fiery理论建立了几个不等式。

Abstract: According to the Lp mixed volume, Ludwig extended the notion of Lp-affine surface area. Recently, Wang and He extended the Lp dual affine surface area. More recently, Ma studied the i-th Lp affine surface area. In this paper, we introduce the concept of i-th Lp dual affine surface area and established some inequalities according to the Brunn-Minowski-Fiery.

1. 引言和主要结果

这篇文章的背景是 n 维欧氏空间 n 。设 K n n 维欧氏空间 n 中的凸体(有非空内点的紧凸集)的集合。用 K o n K c n K s n 分别表示 n 中包含原点为内点的凸体集合,中心在原点的凸体集合和关于原点对称的凸体集合。用 V i ( K ) 表示的 i 维体积凸体 K i 维体积, S o n 表示 n 中的凸体(关于原点),标准单位球 B n 维体积用 ω n 表示,并用 S n 1 表示 n 中的单位球面。

Leichtweiß ( [1] )给出仿射表面积的定义,若 K K n K 的仿射表面积 Ω ( K ) 被定义为:

n 1 n Ω p ( K ) n + 1 n = inf { n V 1 ( K , Q ) V ( Q ) 1 n : Q S o n } (1.1)

Lutwak根据 L p 混合体积引进了 L p 仿射表面积( [2] )。若 K K o n p 1 K L p 仿射表面积 Ω ( K ) 被定义为:

n p n Ω p ( K ) n + p n = inf { n V p ( K , Q ) V ( Q ) p n : Q S o n } (1.2)

显然,当 p = 1 Ω p ( K ) 就是经典的仿射表面积。

2008年,根据 L p 混合体积的定义( [3] ),汪和何给出对偶仿射表面积的定义,若 K K o n 1 p n L p 对偶仿射表面积 Ω ˜ p ( K ) 被定义为:

n p n Ω ˜ p ( K ) n p n = inf { n V ˜ p ( K , Q ) V ( Q ) p n : Q S o n } (1.3)

近年来,马统一( [4] )将 L p 仿射表面积 Ω p ( K ) 引入到 i L p 仿射表面积 Ω p i ( K ) ,若

K K o n i { 0 , 1 , , n } i L p 仿射表面积 Ω p i ( K ) 被定义为:

n p n i Ω p ( i ) ( K ) n + p i n i = inf { n W p , i ( K , Q ) W ˜ i ( Q ) p n i : Q S o n } (1.4)

随后,马统一和冯宜彬给出了 i L p 仿射表面积的完整定义( [5] )。若 p 0 , i { 0 , 1 , , n } ,且 K F i , o n ,则 i L p 仿射表面积 Ω p i ( K ) 的定义如下:

Ω ˜ p ( i ) ( K ) = S n 1 f p , i ( K , u ) n i n + p i d S ( u ) (1.5)

令(1.5)中的 i = 0 i L p 对偶仿射表面积就是经典的 L p 仿射表面积( [6] )。

现在我们定义 i L p 对偶仿射表面积。若 K K o n i { 0 , 1 , , n } , p 1 ,则 i L p 对偶仿射表面积 Ω p i ( K ) 的定义如下:

n p n i Ω ˜ p ( i ) ( K ) n p i n i = inf { n W ˜ p , i ( K , Q ) W ˜ i ( Q ) p n i : Q S o n } (1.6)

定理1.1:若 K K c n i { 0 , 1 , , n 1 } ,且 p 1 ,则

Ω ˜ p ( i ) ( K ) n p i n n p i ω n 2 p W i ( K ) n i W ˜ i ( K ) p (1.7)

i = 0 时,等号成立当且仅当 K 是一个椭球体,当 0 < i < n 1 时,当且仅当 K 是一个中心在原点的 n 维球。

定理1.2:若 K K c n i { 0 , 1 , , n 1 } ,且 p 1 ,则

Ω ˜ p ( i ) ( K ) n p i n n p i ( ω i ω n i ) 2 p ( n i ) 2 p W i ( K ) n + p i (1.8)

i = 0 时,等号成立当且仅当 K 是一个椭球体,当 0 < i < n 1 时,当且仅当 K 是一个中心在原点的 ( n i ) 维球。

定理1.3:若 K K c n i { 0 , 1 , , n 1 } ,且 p 1 ,则

Ω ˜ p ( i ) ( K ) Ω ˜ p ( i ) ( K ) n 2 W i ( K ) W ˜ i ( K ) (1.9)

i = 0 时,等号成立当且仅当 K 是一个中心在原点的椭球体,当 0 < i < n 1 时,当且仅当 K 是一个中心在原点的球。

定理1.1~1.3的证明在第三部分。

2. 预备知识

如果 K K n K 的支撑函数 h K = h ( K , ) : n ( , ) 被定义为( [7] [8] )

h ( K , x ) = max { x y : y K } , x n (2.1)

这里 x y 表示 x y 的标准内积。

如果 如果 K n 中一个紧的星形(关于原点),则 K 的径向函数 ρ K = ρ ( K , ) : n \ [ 0 , ) 被定义为( [7] [8] ):

ρ ( K , x ) = max { λ > 0 : λ x K } , x n \ { 0 } (2.2)

如果 ρ K 是正连续的函数,则称 K 是一个星体(关于原点)。如果 ρ ( K , u ) / ρ ( L , u ) 是与 u S n 1 无关的,则称星体 K L 是互相膨胀的。

对于 K K o n K 的极体 K 被定义为:( [7] [8] )

K = { x n : x y 1 , y K } (2.3)

根据(2.3),我们有 ( K ) = K ,且

h K = 1 ρ K ρ K = 1 h K (2.4)

对于 K K c n 和它的极体 K ,Blaschke-Santaló不等式( [6] )的证明如下:

引理2.1:若 K K c n ,则

V ( K ) V ( K ) ω n 2 (2.5)

等号成立当且仅当 K 是一个椭球体。

注意当 K S o n K 的体积 V ( K ) 如下:

V ( K ) = 1 n S n 1 ρ K n ( u ) d S ( u ) (2.6)

这里 S S n 1 上Lebesgue测度。

如果 K , L S o n p > 0 , λ , μ 0 ,(不同时为零), K L L p 线性组合 λ K + μ P L S o n 被定义为( [2] )

ρ ( λ K + p μ L , ) p = λ ρ ( K , ) p = μ ρ ( L , ) p (2.7)

1996年,给出了 L p 对偶混合体积的概念( [2] ):如果 K , L S o n p 1 ε > 0 K L L p 对偶混合体积被定义为:

n p V ˜ p ( K , L ) = lim ε 0 V ( K + ε p L ) V ( K ) ε (2.8)

由(2.2)和(2.3),Haberl给出了 L p 对偶混合体积的完整表述:如果 K , L S o n ,且 p > 0 ,则

V ˜ p ( K , L ) = 1 n S n 1 ρ K n + p ( u ) ρ L p ( u ) d S ( u ) (2.9)

由(2.3)和(2.4),我们可以得到对任意 K S o n ,且 p > 0

V ˜ p ( K , K ) = V ( K ) (2.10)

L p 对偶混合均质积分的定义如下:如果 K , L S o n p 1 ε > 0 且实数 i n K L L p 对偶混合均质积分 W ˜ p , i ( K , L ) 被定义为( [9] ):

n i p W ˜ p , i ( K , L ) = lim ε 0 + W ˜ i ( K + ε p L ) W ˜ i ( K ) ε (2.11)

i = 0 ,则(2.11)就是经典的 L p 对偶混合体积,即 W ˜ p , 0 ( K , L ) = V ˜ p ( K , L )

根据(2.11),王卫东和冷岗松给出了 L p 对偶混合均质积分的完整表述( [9] ):如果 K , L S o n p 1 且实数 i n n + p ,则

W ˜ p , i ( K , L ) = 1 n S n 1 ρ K n + p i ( u ) ρ L p ( u ) d S ( u ) (2.12)

结合(2.10)和(2.12),若 K S o n p 1 ,且 i n n + p ,则:

W ˜ p , i ( K , K ) = W ˜ i ( K ) (2.13)

引理2.2:( [10] )如果 K K o n ,且 0 < i < n , i ,则

W ˜ i ( K ) V ( K ) n i n ω n i n (2.14)

等号成立当且仅当 K 是一个中心在原点的 n 维椭球体。

引理2.2:( [10] )若 K K o n ,且 i { 1 , , n 1 } ,则

W ˜ i ( K ) W i ( K ) (2.15)

等号成立当且仅当 K 是一个中心在原点的 n 维椭球体。

3. 定理1.1~1.3的证明

定理1.1的证明:根据定义 Ω ˜ p ( i ) ( K ) ,可以得到如果 K K c n Q S o n

Ω ˜ p ( i ) ( K ) n p i n n p i W ˜ p , i ( K , Q ) n i W ˜ i ( Q ) p

Q = K ,则有

Ω ˜ p ( i ) ( K ) n p i n n p i W ˜ i ( K ) n i W ˜ i ( K ) p (3.1)

结合Blaschke-Santaló不等式(2.5)和引理2.2,可以得到:

Ω ˜ p ( i ) ( K ) n p i W ˜ i ( K ) p n n p i W ˜ i ( K ) n i ( W ˜ i ( K ) p W ˜ i ( K ) p ) n n p i W ˜ i ( K ) n i ω n 2 i p n ( V ( K ) p V ( K ) ( n i p n ) n n p i ω n 2 p W ˜ i ( K ) n i

因此,

Ω ˜ p ( i ) ( K ) n p i n n p i ω n 2 p W ˜ i ( K ) n i W ˜ i ( K ) p

由Blaschke-Santaló不等式(2.5)和引理2.2中等号成立的条件可得,当 i = 0 时等号在不等式(1.7)中成立当且仅当 K 是一个椭球体。当 0 < i < n 1 时,等号在不等式(1.7)中成立当且仅当 K 是一个中心在原点的 n 维椭球体。

定理1.2的证明:结合不等式(3.1)和Blaschke-Santaló不等式(2.5),我们有

Ω ˜ p ( i ) ( K ) n p i n n p i W ˜ i ( K ) n i W i ˜ ( K ) p = n n p i W ˜ i ( K ) n + p i [ W ˜ i ( K ) W ˜ i ( K ) ] p = n n p i W ˜ i ( K ) n + p i ω i 2 p ( n i ) 2 p [ V n i ( K ) V n i ( K ) ] p n n p i ( ω i ω n i ) 2 p ( n i ) 2 p ω n 2 p W ˜ i ( K ) n + p i

在证明过程中我们很容易得到当 在证明过程中我们很容易得到当 i = 0 时,等号在不等式(1.8)中成立当且仅当 K 是一个椭球体。当 0 < i n 1 时,等号在不等式(1.8)中成立当且仅当 K 是一个中心在原点的 ( n i ) 维椭球体。

定理1.3的证明:由 Ω ˜ p ( i ) ( K ) 定义可得

n p n i Ω ˜ p ( i ) ( K ) n p i n i n W ˜ p , i ( K , Q ) W ˜ i ( Q ) p n i

对任何 Q S o n ,令 Q = K ,我们有

n p n i Ω ˜ p ( i ) ( K ) n p i n i n W ˜ i ( K ) W ˜ i ( K ) p n i (3.2)

K = K ,我们有

n p n i Ω ˜ p ( i ) ( K ) n p i n i n W ˜ i ( K ) W ˜ i ( K ) p n i (3.3)

结合(3.2),(3.3)和引理,可以得到:

( Ω ˜ p ( i ) ( K ) Ω ˜ p ( i ) ( K ) ) n p i n i n 2 ( n p i ) n i W ˜ i ( K ) W ˜ i ( K ) ( W ˜ i ( K ) W ˜ i ( K ) ) p n i n 2 ( n p i ) n i ( W ˜ i ( K ) W ˜ i ( K ) ) n p i n i

因此,

Ω ˜ p ( i ) ( K ) Ω ˜ p ( i ) ( K ) n 2 W ˜ i ( K ) W ˜ i ( K )

根据引理2.3中等号成立的条件,可以得到当 i = 0 时,在不等式(1.9)中等号成立当且仅当 K 是一个椭球体。当 0 < i n 1 时,等号在不等式(1.9)中成立当且仅当 K 是一个中心在原点的椭球体。

基金项目

国家自然科学基金资助(11561020, 11371224)。

文章引用: 张 蕊 , 马统一 (2018) i阶Lp对偶仿射表面积。 理论数学, 8, 99-104. doi: 10.12677/PM.2018.81012

参考文献

[1] Leichtweiß, K. (1989) Bemerkungen Zur Definition Einer Erweiterten Affinoberfläche Von E. Lutwak. Manuscripta Mathematica, 65, 181-197.
https://doi.org/10.1007/BF01168298

[2] Lutwek, E. (1996) The Brunn-Minkowsk-Firey Theoy II: Affine and Geominimal Surface Areas. Advanced Mathematics, 118, 244-294.
https://doi.org/10.1006/aima.1996.0022

[3] Wang, W. and He, B.W. (2008) -Dual Affine Surface Area. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 348, 746-751.
https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2008.08.006

[4] Ma, T.Y. (2013) Some Inequalities Related to -Type Mixed Affine Surface and Mixed Curvature Image. Journal of Inequalities and Applications, 470.
https://doi.org/10.1186/1029-242X-2013-470

[5] Ma, T.Y. and Feng, Y.B. (2015) The th -Affine Surface Area. Journal of Inequalities and Applications, 187.
https://doi.org/10.1186/s13660-015-0703-7

[6] Lutwek, E. (1987) Mixed Affine Surface Area. Journal of Mathematical Anal-ysis and Applications, 125, 351-360.
https://doi.org/10.1016/0022-247X(87)90097-7

[7] Gardner, R.J. (2006) Geometric Tomography. 2nd Edition. Cambridge University Press, Cambridge.
https://doi.org/10.1017/CBO9781107341029

[8] Schneider, R. (1993) Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cam-bridge University Press, Cambridge.
https://doi.org/10.1017/CBO9780511526282

[9] Wang, W.D. and Leng, G.S. (2005) -Dual Mixed Quermassintegrals. Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, 36, 177-188.

[10] Lutwek, E. (1975) Dual Mixed Volumes. Pacific Journal of Mathematics, 58, 531-538.
https://doi.org/10.2140/pjm.1975.58.531

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