Bloch空间上加权复合算子的紧性
The Compactness of Weighted Composition Operator on Bloch Sapce

作者: 肖嘉琪 , 马卓仕 :嘉应学院,数学学院,广东 梅州;

关键词: Bloch空间加权复合算子紧性Bloch Space Weighted Composition Operator Compactness

摘要:
若f是单位圆盘D上的解析函数,定义加权复合算子如下: 借助Ψφ 的函数特征给出了加权复合算子WΨ,φ 在Bloch空间上紧性的刻画。

Abstract: If f is an analytic function in the unit disk D , the weighted composition operator is defined as following: . In this paper, using the function theoretic of Ψ and φ characterize the compactness of weighted composition operator on Bloch space.

1. 引言

D = { z : | z | < 1 } 是复平面 C 上的单位圆盘。 H ( D ) 表示单位圆盘 D 上的解析函数。设 a D σ a ( z ) = a z 1 a ¯ z 表示单位圆盘 D 上的莫比乌斯变换。

定义1.1:设 0 < p < ,若 f H ( D ) 且满足

D | f ( z ) | p d σ ( z ) < ,

则称 f 属于Bergman空间。

定义1.2:若 f H ( D ) 且满足

f β = sup z D | f ( z ) | ( 1 | z | 2 ) < ,

则称 f 属于Bloch空间,记为 B 。赋予范数 f B = | f ( 0 ) | + f β ,Bloch空间是一个Banach空间。由文献 [1] 中的定理1可知,

f β sup a D f σ a f ( a ) A 2 .

定义1.3:若 f H ( D ) 且满足

sup z D | f ( z ) | ( 1 | z | 2 ) = 0 ,

则称 f 属于小Bloch空间,记为 B 0

定义1.4:设 0 < p < ,若 f H ( D ) 且满足

sup 0 < r < 1 1 0 | f ( r e i θ ) | p d θ < ,

则称 f 属于Hardy空间。

定义1.5:设 0 < p < ,若 f H ( D ) 且满足

f * 2 = sup I D 1 2 π I | f ( ς ) f I | 2 d ς 2 π < ,

则称 f 属于BMOA空间。赋予范数 f BMOA = | f ( 0 ) | + f * ,BMOA空间是一个Banach空间。由文献 [2] 可知

f * sup a D f σ a f ( a ) H 2 .

本文中用 S ( D ) 表示单位圆盘 D 上解析自映射的全体。设 ψ H ( D ) φ S ( D ) 。复合算子和乘积算子分别定义如下:

( C φ f ) ( z ) = f ( φ ( z ) ) , ( M ψ f ) ( z ) = ψ ( z ) f ( z ) .

ψ φ 诱导的加权复合算子 W ψ , φ 定义如下:

( W ψ , φ ) f ( z ) = ψ ( z ) f ( φ ( z ) ) .

由Littlewood从属定理可知,BMOA空间上的复合算子有界。有关BMOA空间上的复合算子的研究见参考文献 [2] [3] [5] [6] [7] [11] [12] [13] 。基于文献 [11] 的结果,乌兰哈斯教授在文献 [12] 中给出了BMOA空间上复合算子紧性的充要条件为:BMOA空间上复合算子是紧的当且仅当

lim n φ n * = 0 , lim | φ ( a ) | 1 σ a φ * = 0.

在文献 [13] 中,乌兰哈斯教授、郑德超教授和朱克和教授给出了进一步的结论为:BMOA空间上复合算子是紧的当且仅当

lim n φ n * = 0.

在文献 [4] 中,Colonna应用文献 [13] 中的形式给出的结论为:BMOA空间上加权复合算子是紧的当且仅当

lim n ψ φ n * = 0 , lim | φ ( a ) | 1 ( log 2 1 | φ ( a ) | 2 ) ψ σ a ψ ( a ) H 2 = 0.

受文献 [4] 和 [7] [8] [9] 的启发,本文给出了Bloch空间上加权复合算子紧性的充要条件。

2. 主要结论

本节中给出了Bloch空间上加权复合算子 W ψ , φ 是紧的充要条件的刻画,该刻画主要依赖于 ψ φ 的函数特征。

引理2.1 [10] :设 2 p < ,那么有

sup a D f σ a f ( a ) A 2 sup a D f σ a f ( a ) A p .

引理2.2:设 ψ 属于Bloch空间和 φ S ( D ) 。那么对任意 f 属于Bloch空间,存在一个常数 C 使得

( ψ σ a ψ ( a ) ) ( f φ σ a f ( φ ( a ) ) ) A 2 2 C ψ σ a ψ ( a ) A 2 sup a D ψ σ a ψ ( a ) A 2 .

证明:令 Φ = ψ σ a ψ ( a ) F = f φ σ a f ( φ ( a ) ) ,由引理2.1和Holder不等式可得结论。

引理2.3 [1] :设 f 属于Bloch空间和 z D ,那么有

| f ( z ) | log 2 1 | z | 2 f B .

定理1:设 ψ 属于Bloch空间和 φ S ( D ) 。若 W ψ , φ 在Bloch空间上有界,那么Bloch空间上加权复合算子 W ψ , φ 是紧的充要条件为:

lim r 1 sup { a D : | φ ( a ) | > r } α ( ψ , φ , a ) = 0 , (1)

lim r 1 sup { a D : | φ ( a ) | > r } β ( ψ , φ , a ) = 0 , (2)

对任意的 R ( 0 , 1 )

lim r 1 sup { a D : | φ ( a ) | > r } E ( φ , a , t ) | ψ σ a ( z ) | 2 d σ ( z ) = 0 , (3)

其中 E ( φ , a , t ) = { z D : | σ φ ( a ) φ σ a | > t }

证明:设 W ψ , φ 在Bloch空间上有界。那么(1)、(2)和(3)式成立。

如果(1)不成立,那么存在一个正数 δ 和一个单位上的数列 { a n } 使得

| φ ( a n ) | 1 ( n ) , α ( ψ , φ , a n ) δ > 0.

对任意的 n ,令 f n = σ φ ( a n ) φ ( a n ) ,易验证 f n 属于Bloch空间。根据文献 [10] 中的(2-17)可得

α ( ψ , φ , a n ) sup a n D ψ σ a n ψ ( a n ) A 2 + W ψ , φ f n B .

由文献 [10] 中的定理2.8和 | φ ( a n ) | 1 ( n ) ,可知,当 n

sup a n D ψ σ a n ψ ( a n ) A 2 ( log 2 1 | φ ( a n ) | 2 ) 1 sup a D β ( ψ , φ , a ) 0.

另有, f n 在单位圆盘的紧子集上一致收敛到零,那么有 lim n W ψ , φ f n B = 0 。所以

lim n α ( ψ , φ , a n ) = 0 ,

这与假设相矛盾。即(1)是 W ψ , φ 在Bloch空间上紧的必要条件。

其次,假设(2)不成立,那么存在一个正数 δ 和一个单位上的数列 { a n } 使得

| φ ( a n ) | 1 ( n ) , β ( ψ , φ , a n ) δ > 0.

对任意的 n ,令 h n = log ( 2 / ( 1 φ ( a n ) ¯ z ) ) g n = h n 2 / h n ( φ ( a n ) ) 。很容易验证 g n B 0 。那么有, sup a D g n σ a g n ( a ) A 2 < 。故,由文献 [9] 中的(2-19)和引理3.1可得

β ( ψ , φ , a n ) = ψ σ a n ψ ( a n ) g n ( φ ( a n ) ) A 2 C g n B ( ψ σ a ψ ( a ) A 2 sup a n D ψ σ a n ψ ( a n ) A 2 ) 1 / 2 + ( W ψ , φ g n ) σ a ( W ψ , φ g n ) ( a ) A 2 + α ( ψ , φ , a n ) g n σ a g n ( a ) A 2 .

所以,当 n 时,

ψ σ a ψ ( a ) A 2 sup a n D ψ σ a n ψ ( a n ) A 2 0 α ( ψ , φ , a n ) 0.

由于 g n 在单位圆盘的紧子集上一致收敛到零,故 lim n W ψ , φ g n B = 0 。因此

lim n β ( ψ , φ , a n ) = 0 ,

这与假设相矛盾。即(2)是 W ψ , φ 在Bloch空间上紧的必要条件。

最后,假设(3)不成立。当 n ,那么存在 R ( 0 , 1 ) , δ > 0 , a n D t n ( 0 , 1 ) 使得 | φ ( a n ) | R

lim r 1 sup { a D : | φ ( a ) | > r } E ( φ , a , t ) | ψ σ a ( z ) | 2 d σ ( z ) δ > 0.

选取的一个列为 { t n n } 。令 f n ( z ) = ( σ φ ( a n ) ( z ) ) n , z D 。那么,对任意的 n N f n B 2

W ψ , φ f n B 2 ( ψ σ a n ) f n φ σ a n A 2 2 E ( φ , a n , t n ) | ψ σ a ( z ) | 2 t n 2 n d σ ( z ) t n 2 n δ .

由于 | φ ( a n ) | R < 1 f n 在单位圆盘的紧子集上一致收敛到零,那么有 lim n W ψ , φ f n B = 0 。这与假设相矛盾。即(3)是 W ψ , φ 在Bloch空间上紧的必要条件。

反之,假设(1)、(2)和(3)式成立。令 f n B f n 在单位圆盘的紧子集上一致收敛到零。接下来需要证明 lim n W ψ , φ f n B = 0 。令 0 < ε < 1 ,根据(1)、(2)和(3)式,存在 r ( 0 , 1 ) , t ( 0 , 1 ) n 0 使得

sup { | φ ( a ) | > r } max { α ( ψ , φ , a ) + β ( ψ , φ , a ) , ( log 1 1 | φ ( a ) | 2 ) 1 / 2 } < ε , (4)

sup { a D : | φ ( a ) | r } E ( φ , a , t ) | ψ σ a ( z ) | 2 d σ ( z ) < ε 4 , (5)

sup { n n 0 } max w Q | f n ( w ) | < ε < 1 , (6)

其中 Q : = r D ¯ { σ b ( z ) D : b r D ¯ , z t D ¯ } D

另一方面,对任意的 n 0 ,有

W ψ , φ f n B | ( W ψ , φ f n ) ( 0 ) | + sup | φ ( a ) | > r ( W ψ , φ f n ) σ a ( W ψ , φ f n ) ( a ) A 2 + sup | φ ( a ) | r ( W ψ , φ f n ) σ a ( W ψ , φ f n ) ( a ) A 2 = A 1 + A 2 + A 3 ,

其中

A 1 = | ( W ψ , φ f n ) ( 0 ) | ,

A 2 = sup | φ ( a ) | > r ( W ψ , φ f n ) σ a ( W ψ , φ f n ) ( a ) A 2 ,

A 3 = sup | φ ( a ) | r ( W ψ , φ f n ) σ a ( W ψ , φ f n ) ( a ) A 2 .

由引理2.3和(4)式,可知 A 1 = | ( W ψ , φ f n ) ( 0 ) | < ε 。根据文献 [10] 中的(2.13)和引理2.1,可得

A 2 = sup | φ ( a ) | > r ( W ψ , φ f n ) σ a ( W ψ , φ f n ) ( a ) A 2 C ψ σ a ψ ( a ) A 2 sup a D ψ σ a ψ ( a ) A 2 + sup | φ ( a ) | > r ( α ( ψ , φ , a ) + β ( ψ , φ , a ) ) C sup | φ ( a ) | > r ( ψ σ a ψ ( a ) A 2 ( log 2 1 | φ ( a n ) | 2 ) 1 β ( ψ , φ , a ) ) 1 / 2 + sup | φ ( a ) | > r ( α ( ψ , φ , a ) + β ( ψ , φ , a ) ) .

由于 W ψ , φ 在Bloch空间上有界,故由文献 [10] 中定理2.8可知 β ( ψ , φ , a ) < 。所以,由(4)式可推导出 A 2 C ε

对于 A 3 ,令 F n , a = f n φ σ a f n ( φ ( a ) ) 。那么,根据(6)式,可得

A 3 sup a D ψ σ a ψ ( a ) A 2 sup | φ ( a ) | r ψ σ a ψ ( a ) A 2 + sup | φ ( a ) | r ( ψ σ a ) f n φ σ a f n ( φ ( a ) ) A 2 ψ σ a ψ ( a ) A 2 · max | w | r | f n | + ( A 4 + A 5 ) 1 / 2 ε + ( A 4 + A 5 ) 1 / 2 ,

其中

A 4 = sup { | φ ( a ) | r } D \ E ( φ , a , t ) | ψ σ a ( z ) F n , a ( z ) | 2 d σ ( z ) ,

A 5 = sup { | φ ( a ) | r } E ( φ , a , t ) | ψ σ a ( z ) F n , a ( z ) | 2 d σ ( z ) .

a D n n 0 ,令 G n , a = f σ φ ( a ) f n ( φ ( a ) ) λ a = σ φ ( a ) φ σ a f n ( φ ( a ) )

G n , a ( 0 ) = 0 F n , a = G n , a σ φ ( a ) 。根据文献 [9] 中的(3-19)式,对任意的 z D \ E ( φ , a , t ) 可得

F n , a ( z ) = G n , a ( λ a ( z ) ) 2 | λ a ( z ) | max | w | t | G n , a ( w ) | .

因此,

sup { | φ ( a ) | r } D \ E ( φ , a , t ) | ψ σ a ( z ) F n , a ( z ) | 2 d σ ( z ) 4 ( max | w | t | G n , a ( w ) | ) 2 ( ψ σ a ) λ a A 2 ,

显然,由(6)式,当 | φ ( a ) | r ,可得

max | w | t | G n , a ( w ) | max | w | t | f n ( σ φ ( a ) ( w ) ) | + | f n ( φ ( a ) ) | 2 ε

( ψ σ a ) λ a A 2 ( ψ σ a ψ ( a ) ) λ a A 2 + ψ ( a ) λ a A 2 ( ψ σ a ψ ( a ) ) A 2 λ a + sup a D α ( ψ , φ , a ) < .

因此, A 4 C ε 2

A 5 ,根据Holder不等式和(5),有

A 5 sup { | φ ( a ) | r } ( E ( φ , a , t ) | ψ σ a ( z ) | 2 d σ ( z ) ) 1 / 2 sup { | φ ( a ) | r } ( E ( φ , a , t ) | ψ σ a ( z ) | 2 | F n , a ( z ) | 4 d σ ( z ) ) 1 / 2 ε 2 sup { | φ ( a ) | r } ( ψ σ a ) F n , a A 4 F n , a A 4 .

根据引理2.1和文献 [2] 中的引理2.7,可得

F n , a A 4 C f n φ σ a f n ( φ ( a ) ) A 2 C .

更进一步,

sup { | φ ( a ) | r } ( ψ σ a ) F n , a A 4 sup { | φ ( a ) | r } ( W ψ , φ f n ) σ a ( W ψ , φ f n ) ( a ) A 2 + sup { | φ ( a ) | r } ( ψ σ a ψ ( a ) ) f n ( φ ( a ) ) A 4 C ( W ψ , φ f n B ψ σ a ψ ( a ) A 2 ) .

因此, A 5 C ε 2 。所以, A 5 C ε 。所以有

sup n n 0 W ψ , φ f n B A 1 + A 2 + A 3 C ε ,

其中 C ε 无关。

基金项目

广东省大学生科技创新培育专项资金(“攀登计划”专项资金)资助项目(pdjh2017b0473)。

文章引用: 肖嘉琪 , 马卓仕 (2018) Bloch空间上加权复合算子的紧性。 理论数学, 8, 1-7. doi: 10.12677/PM.2018.81001

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